Afledning af Lorentz-transformationer

Udledningen af Lorentz-transformationer kan udføres på mange måder, ud fra forskellige præmisser.

Lorentz-transformationer kan opnås abstrakt ud fra gruppebetragtninger (i dette tilfælde opnås de med en ubestemt parameter ), som en generalisering af galilæiske transformationer (som blev udført af Poincaré - se nedenfor ). Imidlertid blev de først opnået som transformationer med hensyn til Maxwells ligninger $c$ covariant (som ikke ændrer formen for elektrodynamikkens og optikkens love, når man flytter til en anden referenceramme). Transformationer kan opnås ud fra antagelsen om deres linearitet og postulatet om den samme lyshastighed i alle referencerammer (som er en forenklet formulering af kravet om kovarians af elektrodynamik med hensyn til de ønskede transformationer og udvidelsen af princippet af lighed af inertielle referencerammer (ISR) - relativitetsprincippet - til elektrodynamik), som det gøres i en særlig relativitetsteori (SRT) (i dette tilfælde viser parameteren i Lorentz-transformationerne sig at være bestemt og falder sammen med lysets hastighed). $c$

Det skal bemærkes, at hvis klassen af koordinattransformationer ikke er begrænset til lineære, så er Newtons første lov ikke kun gyldig for Lorentz-transformationer, men for en bredere klasse af fraktioneret lineære transformationer (dog denne bredere klasse af transformationer - undtagen, selvfølgelig, for det specielle tilfælde af Lorentz-transformationer - holder den metriske konstant ikke).

Algebraisk afledning

Baseret på flere naturlige antagelser (hvoraf den vigtigste er antagelsen om eksistensen af en maksimal udbredelseshastighed af interaktioner) , kan det påvises , at værdien ved ændring af IFR

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

kaldet et interval . Denne sætning indebærer direkte den generelle form for Lorentz-transformationer ( se nedenfor ). Her betragter vi kun et særligt tilfælde. For klarhedens skyld, når vi går over til IFR , der bevæger sig med hastighed , vælger vi i det indledende system den akse, der er co-rettet med , og akserne og vil blive placeret vinkelret på aksen . De rumlige akser for ISO'en på tidspunktet vil blive valgt til at være co-directional med ISO's akser . Med sådan en forvandling $K'$ $v$ $K$ $x$ $v$ $Y$ $Z$ $x$ $K'$ $t=0$ $K$

y'=y,~~z'=z,~~c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{ 2}.

Vi vil se efter lineære Lorentz-transformationer, da for uendeligt små transformationer af koordinater afhænger forskellene af nye koordinater lineært af forskellene mellem gamle koordinater, og på grund af rum- og tidshomogeniteten kan koefficienterne ikke afhænge af koordinaterne, kun af den relative orientering og hastighed af IFR.

At de tværgående koordinater ikke kan ændre sig, fremgår tydeligt af overvejelser om rummets isotropi . Faktisk kan værdien ikke ændre sig og samtidig ikke afhænge af (undtagen under rotation omkring , som vi udelukker fra betragtning), hvilket er let at verificere ved at substituere sådanne lineære transformationer i udtrykket for intervallet. Men hvis det afhænger af , så vil punktet med koordinat have en ikke-nul koordinat , som modsiger tilstedeværelsen af symmetri af rotationen af systemet med hensyn til rummets isotropi. Tilsvarende for . $y'$ $x$ $v$ $x$ $(0,x,0,0)$ $y'$ $v$ $z'$

Den mest generelle form for sådanne transformationer:

y'=y,~~z'=z,~~ct'=ct\,\operatørnavn {ch} \,\alpha -x\,\operatørnavn {sh} \,\alpha ,~~x' =x\,\operatørnavn {ch} \,\alpha -ct\,\operatørnavn {sh} \,\alpha ,

hvor er en parameter kaldet hastighed . De omvendte transformationer har formen $\alfa$

y=y',~~z=z',~~ct=ct'\,\operatørnavn {ch} \,\alpha +x'\,\operatørnavn {sh} \,\alpha ,~~x =x'\,\operatørnavn {ch} \,\alpha +ct'\,\operatørnavn {sh} \,\alpha .

Det er klart, at et hvilepunkt i IFR bliver nødt til at bevæge sig i IFR med en hastighed . På den anden side, hvis punktet er i ro, så $K$ $K'$ $-v$

dx=dx'\,\operatørnavn {ch} \,\alpha +c\,dt'\,\operatørnavn {sh} \,\alpha =0,

{\frac {dx'}{c\,dt'}}=-{\frac {v}{c}}=-\operatørnavn {th} \,\alpha ~\Rightarrow ~\operatørnavn {th} \,\alpha ={\frac {v}{c}}.

Når man tager i betragtning, at orienteringen af rummet ikke skal ændre sig, når man ændrer ISO, får vi det

\operatornavn {ch} \,\alpha \geqslant 0.

Derfor er ligningen for hastigheden entydigt løselig:

\operatorname {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},~~\ operatornavn {sh} \,\alpha ={\frac {v}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},

og Lorentz-transformationerne har formen

\ x'=\gamma (x-vt),

\ t'=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2))}x),

\gamma =\operatørnavn {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

Parameteren kaldes Lorentz-faktoren [1] . $\gamma$

Symmetrigruppen af Maxwells ligninger

Visuel afledning af Lorentz-transformationerne

Vi accepterer SRT 's postulater , som koger ned til det udvidede relativitetsprincip, som siger, at alle fysiske processer forløber nøjagtigt ens i alle inertiereferencerammer (princippet om konstanten af lyshastigheden i SRT, som forfiner den , betyder en udvidelse af relativitetsprincippet til elektrodynamik, sammen med en afklarende erklæring om, at der ikke er noget grundlæggende fysisk medium (ether), som ville udskille et af referencesystemerne i eksperimentet - det vil sige, selvom æteren eksisterer, så bør dets tilstedeværelse ikke krænke relativitetsprincippet i praksis). Derudover er det nyttigt eksplicit at understrege, at princippet om konstant lyshastighed betyder tilstedeværelsen af præcis den endelige hastighed (fra eksperimentet svarende til lysets hastighed i vakuum), indlejret i de grundlæggende love (ligninger), det samme for alle inertiereferencerammer, og i hver referenceramme er lysets hastighed den samme for enhver retning af dets udbredelse og afhænger ikke af kildens hastighed. Princippet om konstant lyshastighed udgør det andet postulat af SRT, som bruges nedenfor.

Transformation for tværakser (punkt 1)

Lad der være to uendelige planer vinkelret på y -aksen . Afstanden mellem disse planer bør naturligvis ikke afhænge af flyernes hastighed langs sig selv, hvilket betyder, at den ikke afhænger af referencerammen, der bevæger sig i forhold til den anden langs aksen . (I hvert sådant system er tidspunktet for passage af en lysstråle, der bevæger sig langs aksen fra et plan til et andet, det samme i henhold til SRT's postulater.) $x$ $y$

Du kan også forestille dig, hvordan et legeme, der bevæger sig langs en akse, flyver ind i et fast hul af samme størrelse. Hvis der ikke er lighed , kan kroppen være større eller mindre end hullet, afhængigt af referencesystemet, som målingen udføres i. I virkeligheden passerer eller passerer kroppen ikke gennem hullet, uanset valget af referenceramme. $x$ $y=y',$

Det samme gælder naturligvis for aksen . Derfor, udelukker vi for nemheds skyld det fysisk uinteressante tilfælde af rotation med en konstant vinkel af det andet koordinatsystem i forhold til det første, får vi: $z$

y=y',z=z'.

Tidsudvidelse (punkt 2)

Lad os vise, at enhver proces (for eksempel forløbet af et ur) i en referenceramme, der bevæger sig i forhold til den, forløber langsommere end i dens egen referenceramme (i forhold til hvilken den ikke bevæger sig).

Betragt et "lysur" bestående af en punktkilde og en lysmodtager på aksen , fjernt fra hinanden med en afstand og måler tidsintervallet for passagen af en puls (flash) af lys fra kilden til modtageren, lig med til . $y$ $L$ $L/c$

Hvis referencerammer bevæger sig i forhold til hinanden langs aksen , så er afstanden mellem to punkter på aksen , målt i en ramme, der er stationær i forhold til disse punkter, den samme som målt i en bevægelig referenceramme, da der er ingen relativ bevægelse af systemer langs aksen. Dette vil sikre, at længdeenhederne er konsistente på tværs af systemer. Tidsenhederne vil også være konsistente, da længdeenhederne er konsistente, og lysets hastighed ikke afhænger af koordinatsystemet. $x$ $L$ $y$ $y$

Det samme lysur kan således indstilles i hver referenceramme.

Lad os sammenligne tidsintervallet for pulspassagen i referencerammen, hvor lysuret er i ro, og tidsintervallet for det samme ur, målt af identiske ure i den bevægelige referenceramme.

Lad lysuret stå i hvile i referencerammen (venstre diagram i figuren), og referencerammen bevæger sig til højre langs aksen med en hastighed på . Kilden på tidspunktet for pulsemission er ved referencesystemets oprindelse A (rød prik i figuren), og modtageren er i punkt B (blå) på aksen . I referencerammen når den udsendte lysimpuls modtager B på aksen i tid . $K$ $K'$ $x$ $V$ $K$ $y$ $K$ $y$ $\Delta t=L/c$

I referencerammen udsendes en lysimpuls fra oprindelsen i det øjeblik, den falder sammen med systemets oprindelse (punkt A ), og kommer ind i modtageren B efter en tid , som måles af ure, der bevæger sig med systemet . Koordinaten for punkt B er forskydningen angivet på det højre diagram i figuren med en stiplet linje, lig med , punkt A angiver det sted, hvorfra pulsen blev udsendt, pulsens bane i er vist med en grøn linje. $K'$ $K$ $\Delta t'=L'/c$ $K'$ $x'$ $-V\Delta t'$ $K'$

Da lyshastigheden i enhver inertiereferenceramme er den samme (ikke afhængig af kildens hastighed og strålingsretningen), kan kilden A i impulsøjeblikket betragtes som stationær i referencerammen . $K'$

Den vej , som lysimpulsen bevæger sig fra A til B i referencerammen , er lig med hypotenusen af en retvinklet trekant. Ifølge Pythagoras sætning $L'$ $K'$

{\displaystyle L'^{2}}=L^{2}+(V\Delta t')^{2},

under hensyntagen til at og , finder vi et udtryk for ${\displaystyle L'}=c\Delta t'$ $L=c\Delta t$ $\Delta t'$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2))))))

Heraf følger, at når $\Delta t'>\Delta t$ $V\neq 0.$

Således er tidsintervallet for enhver proces, der forekommer i referencerammen , målt af et ur i en bevægelig referenceramme , større end tidsintervallet , målt af det samme ur i dets egen referenceramme . Spændforøgelsesfaktoren er konstant ved konstant hastighed. $\Delta t'$ $K$ $K'$ $\Delta t$ $K$

Da referencerammen bevæger sig i forhold til rammen med en hastighed , så siger vi, at tiden i den bevægelige referenceramme fra systemets synspunkt flyder langsomt. For eksempel er laboratorielevetiden for kortlivede partikler produceret ved høje hastigheder længere end deres levetid i deres egen referenceramme. $K$ $K'$ $-V$ $K$ $K'$ $\Delta t'$ $\Delta t$

Mere tydeligt er afmatningen af tiden manifesteret i afmatningen (tempo) af ure, der bevæger sig sammen med referencerammen . Hvis kilden og modtageren er forsynet med spejle, der reflekterer lysimpulsen, så kan et interval af enhver varighed måles ved antallet af perioder mellem refleksioner. Oscillationsfrekvensen af et sådant lyspendul karakteriserer tidens hastighed. Perioden for en gentagelsesproces er relateret til dens hyppighed ved lighed . En større periode svarer til en lavere frekvens, og uligheden bliver til en ulighed for frekvensen , hvor er frekvensen af urets lyspendul, der bevæger sig sammen med systemet , målt ved systemets ur , er frekvensen af uret. lyspendul i sin egen referenceramme (i forhold til hvilket uret står i ro). Et ur i bevægelse tikker sjældnere end et stillestående. $K$ $T$ $\nu ={\frac {1}{T))$ $\Delta t'>\Delta t$ $\nu '<\nu$ $\nu'$ $K$ $K'$ $\nu$ $K$

Da alle inertielle referencerammer er ens, så får vi ved at måle varigheden af en impulss passage i timer, der bevæger sig sammen med referencerammen , uret for referencerammen , den omvendte ulighed for , da i dette tilfælde det er det rigtige tidspunkt. Fra referencesystemets synspunkt kører systemets bevægelige ur langsommere end systemets eget ur . $K'$ $K$ $\Delta t'<\Delta t$ $V\neq 0$ $\Delta t'$ $K$ $K'$ $K$

Relativitet af samtidighed (punkt 3)

Ud over at nedsætte tiden i en bevægelig referenceramme (sænkning af alle ure i et bevægende laboratorium sammenlignet med ure i et stationært laboratorium), viser det sig, at tidens oprindelse i en bevægende referenceramme heller ikke falder sammen med det i en stationær, og forskydningen af denne oprindelse er forskellig på forskellige punkter - afhænger af x . Ure i deres egen referenceramme, der holder den samme tid, viser forskellige lede-/forsinkelsestider afhængigt af deres placering, når de ses fra den referenceramme, hvori deres egen referenceramme bevæger sig.

For at forstå selve essensen af problemet, bliver man nødt til at tænke over spørgsmålet på den ene eller anden måde, og hvad betyder det, at ure på forskellige steder i rummet fjernt fra hinanden (f.eks. i forskellige byer) kører samme måde (synkront), som det kan ses i denne, eller hvordan (ved hjælp af hvilken procedure) kan du synkronisere ure forskellige steder, hvis de ikke var synkrone i starten.

Allerede den enkleste metode til synkronisering, som består i, at alle ure synkroniseres ét sted, og derefter overføres til forskellige punkter, gør det muligt at sikre, at ure synkroniseret i én referenceramme vil se ud som om at vise forskellige tidspunkter fra en anden referenceramme. Faktum er, at for de ure, som vi overfører til forskellige punkter langs x -aksen , vil deres hastighed i forhold til en anden referenceramme nødvendigvis være anderledes, så tiden på forskellige punkter på x -aksen vil blive forskudt forskelligt.

Dette kunne kvantificeres omhyggeligt og dermed opnå det ønskede resultat. Men dette kan opnås mere enkelt ved at overveje synkronisering ved hjælp af lyssignaler (og relativitetsprincippet siger, at enhver korrekt metode til synkronisering skal give samme resultat, som dog kan verificeres eksplicit, hvis det ønskes).

Så lad os overveje synkronisering ved hjælp af lyssignaler. Denne proces kan for eksempel bestå i udveksling af lyssignaler mellem to fjerntliggende kronometre: hvis signalerne udsendes på samme tid, vil der gå samme tid, før der modtages et signal for hvert ur. Men endnu enklere er en lidt anderledes (svarende til denne) metode: du kan lave et lysglimt præcis i midten af segmentet, der forbinder kronometrene, og hævde, at lyset vil komme til begge kronometre samtidigt.

I sin egen referenceramme (hvor kronometrene er stationære) er billedet symmetrisk. Men i en hvilken som helst anden referenceramme bevæger begge kronometre sig (for nøjagtighedens skyld antager vi det til højre), og så vil lyset fra midten af segmentet, der forbinder dem i det indledende øjeblik, tage kortere tid at nå til venstre kronometer (bevæger sig mod lyset) end til højre (som lyspulsen skal indhente).

Således ser kronometre, der kører synkront i deres egen referenceramme, ifølge urene i en anden referenceramme, asynkrone ud. Samtidigheden af begivenheder er relativ: begivenheder, der er samtidige i en referenceramme, er ikke samtidige i en anden.

Simple geometriske beregninger gør det muligt (efter at have afbildet bevægelsen af lysimpulser og kronometre på xt -planet ) at opnå et udtryk for skiftet af tidens oprindelse:

-Vx/c^{2}

(For nemheds skyld har vi her kun betragtet ure fordelt langs x - aksen , men selvfølgelig kan alt beregnes for det generelle tilfælde).

Ved at samle resultaterne af punkt 2 og 3 opnår vi således for tidsomregningen

t'={\frac {t-Vx/c^{2}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}

Denne effekt kan også bevises ved modsigelse: hvis den ikke eksisterede, eller hvis skiftet i oprindelsen af tidsreferencen ikke beløb sig til , så ville det såkaldte tvillingeparadoks eksistere . $-Vx/c^{2}$

Lorentz længdekontraktion (punkt 4)

Efter at have overvejet bevægelsen af en lysimpuls langs x - aksen (og ikke langs y , som det var i afsnit 1), og krævet (baseret på postulatet med samme lyshastighed i alle inertiereferencerammer), at afstanden mellem to punkter skal altid være lig med den tid, hvor lyset går fra et punkt til et andet, ganget med lysets (konstante) hastighed, kan du få afstandsreduktionsfaktoren langs x , og givet at forskydningen af oprindelse er lig med , kan du få transformationen for x- koordinaten : $-Vt$

x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2))))

Det er endnu nemmere nu at forstå, hvad der udtrykkes på denne måde, idet man bemærker, at i planet skal grafen for bevægelsen [2] af lysimpulsen være lige, hældende på 45° (på grund af det faktum, at lysets hastighed altid er c ), og dermed skalaen langs akser og skal være den samme, og udtryk i enhedssystemet skal være symmetriske. $x'$ $x-ct$ $x$ $ct$ $c=1$

Således opnås Lorentz-transformationerne ganske klart for kollineære rumlige akser. Naturligvis er den omvendte rækkefølge af ræsonnement også mulig: man kan først opnå Lorentz-transformationerne på en mere abstrakt måde, f.eks. en af de ovennævnte, og derefter opnå alle de effekter, der er analyseret i trinnene i dette visuelle bevis som en simpel formel konsekvens af Lorentz-transformationerne.

Noter

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. — Udgave 6, rettet og suppleret. - M . : Nauka , 1973. - S. 11-28. - (" Teoretisk fysik ", bind II). Arkiveret 26. juli 2021 på Wayback Machine
↑ Minkowski kaldte en sådan bevægelsesplan for en verdenslinje; Men i dette afsnit vil vi ikke dykke ned i forbindelsen mellem Lorentz-transformationer og begrebet Minkowski-rum i dets helhed, primært for ikke at komplicere og afbryde den elementære afledning, som er mere bekvem at overveje uafhængigt af eventuelle yderligere specielle begreber, kun begrænser os til elementære geometriske og algebraiske begreber i det omfang, de er nødvendige. Faktisk taler vi om transformation af koordinater i Minkowski-rummet, og i dette afsnit, baseret på postulatet om lyshastighedens konstanthed, er visse egenskaber af dette rum, såvel som Lorentz-transformationer, afklaret som praktiske transformationer af koordinater i den. Men endnu en gang for overskuelighedens skyld understreger vi, at man til selve konklusionen ikke behøver at vide andet end det, der udtrykkeligt står i paragraffens hovedtekst.