Wronskian

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. januar 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Wronskian , eller Wronskys determinant , er en funktion defineret for et system af funktioner på et interval , der er differentierbare -tider. Det er givet som determinanten for følgende matrix : $W(f_{1},\dots f_{n})(x)$ $f_1(x),\ldots f_n(x)$ $jeg$ $(n-1)$

W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) ) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x ) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

En Wronskian er også en funktion defineret af en determinant af en mere generel form. Lad nemlig n vektorfunktioner med n komponenter gives: . Så vil determinanten se sådan ud (for at undgå uoverensstemmelser betegner vi den med ): $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n)$ $W_2$

W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n ^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

Opkaldt efter den polske matematiker Józef Wronski . Udtrykket "Wronskian" blev foreslået af den skotske matematiker Thomas Muir i hans monografi om determinanter fra 1882 [1] .

Vronsky-determinanten bruges til at løse differentialligninger , for eksempel for at finde ud af, om løsningerne fundet for en homogen lineær differentialligning (eller ligningssystem) er lineært uafhængige. Dette hjælper med at finde dens generelle løsning .

Egenskaber

Hvis er lineært afhængige af , så . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $jeg$ $\forall x\in I\quad W(x)=0$

Hvis Wronsky-determinanten på intervallet ikke er lig med nul i det mindste på ét punkt, så er funktionerne lineært uafhængige (en direkte konsekvens af den forrige egenskab). Det modsatte er generelt ikke sandt (se eksempel 3), men i det tilfælde, hvor funktionerne er løsninger af en differentialligning, vil stærkere følgevirkninger være sande (se nedenfor). $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

Hvis er løsninger af en lineær homogen differentialligning af th orden, så kaldes Wronskian af denne ligning . Wronsky-determinanten for en homogen differentialligning er enten identisk lig med nul, hvilket betyder, at de er lineært afhængige, eller forsvinder ikke på noget tidspunkt , hvilket betyder, at funktionerne er lineært uafhængige . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $n$ $W(f_1, \ldots ,f_n)$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $jeg$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

$W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x)$ , hvor er Wronsky-determinanten, hvor rækken med nummer i er erstattet af en række af afledte: $W_i$

$W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1 }(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) \end{pmatrix}$

Denne formel er sand for differentiering af determinanterne for enhver kvadratisk matricer.

Eksempler

Lad os kontrollere, at Wronskian for lineært afhængige funktioner er lig med nul: $1, x^2, 3+2x^2$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x- 8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.

Lad os nu kontrollere den lineære uafhængighed af funktionerne $1,x,x^3$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.

Der er punkter, hvor Wronskian er ikke-nul (i vores tilfælde er dette et hvilket som helst punkt undtagen x=0). Derfor vil disse funktioner på ethvert interval være lineært uafhængige.

Lad os nu give et eksempel, hvor Wronskian er nul overalt, men funktionerne er stadig lineært uafhængige. Lad os definere to funktioner:

f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases}

Begge funktioner er differentiable overalt (inklusive ved nul, hvor afledte af begge funktioner forsvinder). Lad os kontrollere, at Wronskian er nul overalt.

W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cases}

Disse funktioner er dog naturligvis lineært uafhængige. Vi ser, at ligheden af Wronskian til nul ikke medfører en lineær afhængighed i tilfælde af et vilkårligt valg af funktioner.

Se også

Noter

↑ Matematik i det XVIII århundrede // Matematikkens historie. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 70.

Litteratur

Romanko V.K. kapitel 5 og 6 // Differentialligningsforløb og variationsregning. - 2. udg. - M . : Laboratory of Basic Knowledge, 2002. - S. 158-164, 174-177. - (Teknisk Universitet). - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-93208-097-3 .