Rayleigh bølger

Rayleigh-bølger er akustiske overfladebølger . De er opkaldt efter Rayleigh , som teoretisk forudsagde dem i 1885 [1] .

Beskrivelse

Rayleigh-bølger forplanter sig nær overfladen af et fast legeme. Fasehastigheden af sådanne bølger er rettet parallelt med overfladen. Mediets partikler i en sådan bølge laver elliptiske bevægelser i det sagittale plan (hvori hastighedsvektoren og normalen til overfladen ligger). Oscillationsamplituderne henfalder med afstanden fra overfladen ifølge eksponentielle love, og bølgeenergien koncentreres i området i en afstand af størrelsesordenen en bølgelængde fra overfladen [2] .

Rayleigh-bølge i en isotrop krop

Bevægelsesligningen for et uendeligt lille volumen af et homogent, isotropt og ideelt elastisk medium med en tæthed ρ kan skrives som:

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm {div}\textbf{U},

(en)

hvor U er forskydningen af et uendeligt lille volumen i forhold til ligevægtspositionen, λ og μ er elastiske konstanter , Δ er Laplace-operatoren . For en given bølgeligning søges løsninger i form af en superposition af tværgående og langsgående forskydninger U = U t + U l , hvor U l =grad φ og U t =rot ψ . φ og ψ er skalar- og vektorpotentialer. Ligning ( 1 ) for nye ubekendte er en bølgeligning for uafhængige forskydningskomponenter [3] :

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,

(2.1)

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.

(2.2)

Hvis bølgen udbreder sig langs x-aksen, kan kun svingninger i (x, z)-planet tages i betragtning for det isotrope tilfælde. Under hensyntagen til uafhængigheden af komponenterne fra y for en plan harmonisk bølge, antager bølgeligningerne for potentialerne formen:

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-k_l^2\frac{\partial^2 \phi}{ \partial t^2}=0,

(3.1)

\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}-k_t^2\frac{\partial^2 \psi}{ \partial t^2}=0,

(3.2)

hvor er bølgetallene for langsgående og tværgående bølger. Løsningerne af disse ligninger, hvis vi kun tager dæmpede løsninger, præsenteres i form af plane bølger [4] : $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],

(4.1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],

(4.2)

hvor ; ; ; A og B er vilkårlige konstanter. Disse løsninger repræsenterer den generelle løsning af bølgeligningen for en dæmpet bølge, og for at finde en bestemt løsning er det nødvendigt at sætte grænsebetingelser på mediets overflade. $q^2=k^2-k_l^2$ $s^2=k^2-k_t^2$ $k^2>k_t^2>k_l^2$

Forskydningskomponenterne er repræsenteret som:

U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z},

(5.1)

U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}.

(5.1)

I tilfælde af en fri grænse antager spændingstensorkomponenterne nulværdier:

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,

(6.1)

T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z))+{\frac {\partial ^{2}\psi } {\partial x^{2))}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2))}\right)=0.

(6.2)

Efter at have substitueret løsninger ( 4 ) får vi et homogent system af lineære ligninger med hensyn til amplituderne A og B , som kun har en ikke-trivial løsning, hvis determinanten for systemet er lig nul ( Rayleigh-ligning ), nemlig [5 ] :

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,

(6)

hvor ,. _ Denne ligning har en enkelt rod relateret til Rayleigh-bølgen, som kun afhænger af Poissons forhold ν: $\eta=k_t/k$ $\xi=k_l/k_t$

\eta_R=\frac{0.87+1.12\nu}{1+\nu}.

(7)

Herfra findes forskydningskomponenterne for Rayleigh-bølgen [6] :

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[ i\venstre(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],

(8.1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\ venstre[i\venstre(k_Rx-\omega t\højre)\højre].

(8.2)

Praktiske anvendelser af Rayleigh-type bølger

Bølger af Rayleigh-typen (pseudo-Rayleigh-bølger) bruges med succes i tekniske seismiske undersøgelser til at studere de elastiske parametre for klipper og jorder, der er placeret bag beklædningen af tunneler [7] , armeret beton, betonplader, murværk eller fortov [8] . I tilfælde af en stigning i hastigheder med dybden (som regel i undersøgelser fra dagoverfladen) bestemmes hastighederne af tværgående bølger i det nederste lag ud fra spredningskurverne for pseudo-Rayleigh-bølger (se figur). Denne metode er meget udbredt i praksis og begrundet ud fra elasticitetsteoriens synspunkt.

Noter

↑ Lord Rayleigh. På bølger forplantet langs den plane overflade af et elastisk fast stof // Proc . London matematik. soc. : journal. - 1885. - Bd. s1-17 , nr. 1 . - S. 4-11 .
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. elleve.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. 7.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. otte.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. 9.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. ti.
↑ Evaluering af egenskaberne og tilstanden af jorde bag beklædningen af transporttunneler i henhold til 2D seismisk tomografi. Boyko O. V. (utilgængeligt link) . Hentet 10. juli 2015. Arkiveret fra originalen 10. juli 2015. (ubestemt)
↑ Bestemmelse af fysiske og mekaniske egenskaber og styrkekarakteristika for jord beklædt med murværk, beton, armerede betonkonstruktioner og belægninger. (utilgængeligt link) . Dato for adgang: 10. juli 2015. Arkiveret fra originalen 9. juli 2015. (ubestemt)

Litteratur

Viktorov IA Lydoverfladebølger i faste stoffer. — M .: Nauka, 1981. — 287 s.

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk Britannica (online)