Returligning

Returligningen er en algebraisk ligning i en variabel af formen

\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0 \Leftrightarrow a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\dots

\dots +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\dots

\dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}= 0

i en ulige grad og $2n+1$

\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))=0\Leftrightarrow a_{0} x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\dots

\dots +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+ \lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\dots

\dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0

i en jævn grad , hvor . Et reciprokt polynomium er et polynomium , der svarer til nul i den reciproke ligning [1] . $2n$ $a_{0}\neq 0$

Alternativ måde at definere

Et polynomium af ulige grad kaldes recurrentif for nogle lighed er sandt for enhver . Et polynomium af lige grad kaldes recurrentif for nogle lighed er sandt for enhver . $\sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n+1$ $\lambda \neq 0$ ${\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda ^{2(nk)+1}$ $k$
$\sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n}x^{2n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n$ $\lambda \neq 0$ ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(nk)))$ $k$

Særlige tilfælde

Hvis , det vil sige sekvensen af koefficienter for det tilbagevendende polynomium er symmetrisk (er et palindrom ), kaldes ligningen symmetrisk eller symmetrisk . Hvis vi taler om et polynomium involveret i ligningen, kaldes det symmetrisk (ikke at forveksle med et symmetrisk polynomium ) [1] . $\lambda=1$

Sænke graden og finde rødder

Ethvert tilbagevendende polynomium af ulige grad har en rod og er repræsenteret som et produkt af et lineært polynomium og et polynomium , der har en lige grad og er tilbagevendende. $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $2n+1$ $-\lambda$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}{\Big (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ $2n$

Bevis

Lad os bevise, at polynomiet er tilbagevendende. Det kan omskrives i formen , og nu er de samme involveret i summeringen . Så er koefficienterne for og opdelt i par og med hinanden lig . Forholdet mellem tallene i et sådant par er lig , derfor er forholdet mellem de samlede koefficienter ved og er lig med det samme tal , hvilket betyder, at ifølge den alternative definition ovenfor, er vores polynomium tilbagevendende, og tallet, hvis rolle i det originale polynomium af ulige grad spillet , spiller her . ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}\sum \limits _{t=k}^{2n-k}((-1)^{tk}x ^{t}\lambda ^{2n-kt}){\Big )))$ $t$ ${\displaystyle {2n-t))$ $k$ ${\displaystyle x^{t))$ ${\displaystyle x^{2n-t))$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt))$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)))$ $k$ ${\frac {a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt)){a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^ {2n-k-(2n-t)}}}=(-1)^{(tk)-((2n-t)-k)}\lambda ^{(2n-kt)-(2n-k-( 2n-t))}=$ $(-1)^{2(tn)}\lambda ^{2(nt)}=$ ${\displaystyle \lambda ^{2(nt)))$ ${\displaystyle x^{t))$ ${\displaystyle x^{2n-t))$ ${\displaystyle \lambda ^{2(nt)))$ $\lambda$ $\lambda ^{2}$

Betragt nu et rekursivt polynomium af lige grad . Per definition af et rekursivt polynomium er nul derfor ikke dens rod og kan omskrives som , hvor summen kan omskrives som et polynomium med hensyn til graden af . $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $2n$ $a_{0}\lambda ^{n}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\ lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x} }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$

Bevis

Lad os bevise ved fuldstændig induktion på , at enhver sum symmetrisk med hensyn til erstatningen kan omskrives som et polynomium med hensyn til . Base :. Overgang: antag, at dette udsagn er sandt for alle magter mindre end den givne . Udtrykket er symmetrisk med hensyn til udskiftningen , og dets forskel c har den maksimale grad af variablen og er også symmetrisk med hensyn til den angivne udskiftning, og derfor kan det ved antagelsen om induktion repræsenteres som et polynomium med hensyn til til den grad . Så udtrykket er forskellen mellem udtryk og , som hver er repræsenteret som et polynomium med hensyn til grad ikke større end , derfor er udtrykket i sig selv også repræsenteret som et sådant polynomium. Derefter , hvor den første del er repræsenteret som et polynomium med hensyn til grad på højst som bevist ovenfor, og den anden del er repræsenteret som et polynomium med hensyn til grad på de fleste . $n$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x} }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $\sum _{k=0}^{1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x} }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\Big (}a_{1}{\Big (}x^{0}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big)}^{0}{\ Big )}+{\Big (}a_{0}{\Big (}x^{1}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{1}{ \Big )}=$ $a_{0}{\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}+a_{1}=$ $a_{0}t+a_{1}$ $n$ $t^{n}={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $n-1$ $t$ $n-1$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ ${\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}-{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac { \lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )))$ $t$ $n$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x} }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle a_{0}{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )}+\ sum _{k=0}^{n-1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{ \Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ $t$ $n$ $t$ $n$

Efter at have fundet alle rødderne af den resulterende ligning og løse alle formens ligninger med hensyn til , får vi rødderne af den oprindelige gensidige ligning . $t_{i}$ $t_{i}=x+{\frac {\lambda }{x}}$ $x$ $x_{2i-1,\;2i}={\frac {t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}}{2}}$

Opløselighed i radikaler

Som vist ovenfor, gensidige ligninger af grader og er reduceret til at løse ligninger af grad , som kan løses i radikaler op til ved Abel-Ruffini sætning . Desuden er det udtryk , der giver dig mulighed for at få rødderne til den gensidige ligning (bortset fra en ulige grad) gennem rødderne af gradsligningen opnået ovenfor med hensyn til, algebraisk . Derfor er gensidige ligninger, der reducerer til ligninger med grad højst , løses i radikaler, og sådanne gensidige ligninger inkluderer dem, hvis grad ikke overstiger . $2n$ $2n+1$ $n$ $n=4$ ${\Big (}t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda )){\Big )}/2$ $(-\lambda )$ $n$ $t$ $t$ $fire$ $9$

Noter