Ekstern foranstaltning

Et eksternt mål er en af generaliseringerne af begreberne længde, areal og volumen; er en funktion med reel værdi defineret på alle delmængder af rummet, som opfylder flere yderligere specifikationer.

Historie

Den generelle teori om ydre mål blev udviklet af Constantine Carathéodory for at give et grundlag for teorien om målbare mængder og tælleligt additive mål. Carathéodorys arbejde med det ydre mål fandt mange anvendelser i teorien om målbare mængder (for eksempel bruges det ydre mål i beviset for Carathéodorys fundamentale forlængelsessætning), og blev brugt af Hausdorff til at definere en metrisk invariant, der generaliserer dimensionen, nu kaldet Hausdorff-dimensionen .

Store og små bogstaver i tallinjen

For en vilkårlig delmængde af den reelle linje kan man finde vilkårligt mange forskellige systemer bestående af et endeligt eller tælligt antal intervaller, hvis forening indeholder mængden . Vi kalder sådanne systemer belægninger. Da summen af længderne af de intervaller, der udgør ethvert omslag, er ikke-negativ, er den afgrænset nedenfor, og derfor har længdesættet af alle omslag en nøjagtig nedre grænse. Dette ansigt, afhængigt af sættet , kaldes det ydre mål : $E$ $E$ $E$

{\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\))

Muligheder for at udpege en ekstern foranstaltning:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Formel definition

Lad være et fast sæt . Et ydre mål er en funktion sådan, at $x$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

$\mu ^{*}(\varnothing )=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\ kolon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$ .

Lad være et mål defineret på ringen . Et ydre mål genereret af et mål er en funktion sådan $\mu$ $K$ $\mu$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \)),\ ;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ hvis der findes mindst en sådan belægning af sættet ; $EN$
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ Ellers.

Sætning . Det ydre mål, der genereres af foranstaltningen, er det ydre mål. $\mu ^{*}$ $\mu$

$\vartriangleright$ Lad os kontrollere det første punkt fra definitionen af den ydre foranstaltning. . defineret på . $\mu \geqslant 0\Højrepil \mu ^{*}\geqslant 0$ $\mu ^{*}$ $2^{{X}}$

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{* }(\varnothing )=0

Lad os tjekke det andet punkt i definitionen. Lad . Hvis der er sådan et sæt fra omslaget, at , så holder uligheden. Lad yderligere alle sæt fra dækningen være sådan, at . Tag en vilkårlig , per definition af den nøjagtige nedre grænse ${\displaystyle A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ $A_{{n}}$ $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\eksisterer B_{n_{k}}\i K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty } B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)))-{\frac {\varepsilon }{2^{n))))

Derefter

\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

Da er en tællig forening af elementer i ringen , så $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty}B_{n_{k))$ $K$

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)) )<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n))}{\ bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

\vartriangleleft

Egenskaber for ydermål

Eksterne mål egenskaber : $\mu ^{*}$

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k= 1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

$\vartriangleright$ Virkelig,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing)+\cdots =\sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})

\vartriangleleft

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ ( monotonicitet ).

$\vartriangleright$ Følger fra den tidligere ejendom kl . $n=1$ $\vartriangleleft$

𝜇*-målbare sæt

Lad være en ekstern måling defineret på delmængder af sættet . Derefter indstilles sådan, at ligheden gælder for alle $\mu ^{*}$ $x$ $E\delsæt X$ $A\delmængde X$

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap {\overline {E)))

kaldes målbare. -målbare mængder danner en σ-ring, og en funktion defineret på elementerne i denne σ-ring er et mål genereret af . Hvis det ydre mål er genereret af et mål defineret på ringen , så vil det være en forlængelse af målet (hvor er målet defineret ovenfor, genereret af ). $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$ $K$ ${\overline {\mu ))$ $\mu$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}$

Hvis det defineres af en ekstern foranstaltning genereret af foranstaltningen , så hvis og kun hvis den eksterne foranstaltning i sig selv er genereret af en foranstaltning . ${\overline {\mu }}^{*}$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$

Se også

Litteratur

Dorogovtsev A.Ya. Elementer i den generelle teori om mål og integral. Kiev, 1989
Khalmosh P.R. måle teori. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953