Fan af Knaster-Kuratovsky

Knaster-Kuratovsky-fanen er et eksempel på en sådan forbundet delmængde af flyet, fjernelse af et punkt, hvorfra det gør det fuldstændigt afbrudt . Foreslået af de polske matematikere Knaster og Kuratowski [1] .

Bygning

Overvej et rektangel

S=[0;1]\ gange \venstre[0;{\tfrac {1}{2}}\right]

Vi konstruerer et Cantor-sæt på dets nedre kant og betegner med punktersættet Cantor-sættet af den første slags (dvs. enderne af alle fjerntliggende intervaller) og med alle andre punkter fra . Lad dette være et linjestykke, der forbinder punkt til punkt $C$ $EN$ $B$ $C$ $L_c$ $c\in C$ $s=\left({\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}\right).$

I disse notationer er Knaster-Kuratovsky-fanen sættet , hvor $X=Q\kop I$

{\displaystyle Q=\{(x,y)\i S\midt (x,y)\i L_{c},\;c\i A,\;y\i \mathbb {Q} \))

I=\{(x,y)\i S\midt (x,y)\i L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.

Begrundelse

Lad os vise, at det introducerede sæt er forbundet.

Antag, at dette ikke er tilfældet, det vil sige, at der er sæt og sådan, at og på samme tid . For en bestemthed vil vi antage, at . Betegn som et punkt fra , med -koordinat lig med den nøjagtige overside -koordinater for alle punkter inkluderet i . Hvis den er tom, antager vi, at . Det kan naturligvis ikke tilhøre , for ellers ville dette punkt være grænsen for både og for , hvilket modsiger frakoblingsantagelsen. Det vil sige eller . $Y$ $Z$ $X=Y\kop Z$ ${\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset$ $s\in Y$ $u_{c}$ $L_c$ $y$ $y$ $Z\cap L_{c}$ $Z\cap L_{c}$ $u_{c}=c$ $u_{c}$ $X\setminus C$ $Y$ $Z$ $\forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X$ $u_{c}\notin X$

Lade være alle rationelle tal i intervallet , betegne: $\{r_{i}\}$ $[0; en]$

P_{i}=\{c\i B:\eksisterer u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{ c\in B:\;c=u_{c}\}

Så er det altså . Bemærk, at der ingen steder er tætte i , ellers ville der være et åbent interval, hvis skæringspunkt med ville ligge i , men ethvert sådant skæringspunkt, ved Cantor-sættets egenskaber, skal indeholde punkter fra mens . $B=T\kop P$ $C=A\kop T\kop P$ $P_{i}$ $C$ $C$ $P_{i}$ $EN$ $P_{i}\subset B=C\setminus A$

Sættet er et sæt af den anden kategori som et komplet metrisk rum; desuden er enhver åben undergruppe også af den anden kategori. Men den første kategori ( tælleligt, og er en tællig forening af intetsteds tætte mængder), hvilket betyder, at enhver åben delmængde skal indeholde punkter fra ; altså tæt i . $C$ $C$ $P\cup A$ $EN$ $P$ $C$ $T$ $T$ $C$

Lad os nu antage det . På grund af tætheden i , indeholder ethvert åbent sæt, der indeholder , også et segment af segmentet for nogle . Ved definitionen af et sæt har vi , hvilket betyder at . Vi har en modsigelse. Det betyder, at antagelsen om, at sættet ikke er tilsluttet , er fejlagtig. $z\in Z$ $T$ $C$ $z$ ${\displaystyle L_{t))$ $i T$ $T$ $(X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subset Y$ $z\in {\overline {Y}}$ $x$

Det er tilbage at vise, at fjernelse af punktet gør det fuldstændig afbrudt. Lad os antage, at det er forbundet. Så skal det ligge helt inde i et eller andet segment (ellers ville det blive delt i to af et eller andet segment). Sættet er dog helt frakoblet, og derfor helt frakoblet. $s$ $x$ $V\subset X\setminus \{s\}$ $L_c$ $L_{c}\cap (X\setminus \{s\})$ $V$

Noter

↑ Knaster B., Kuratowski C. . Sur les ensembles connexes, Fund. Math. 2 (1921) s. 206-255.

Litteratur

Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A. Introduktion til dimensionsteori. Introduktion til teorien om topologiske rum og den generelle dimensionsteori.
Steen, Seebach. Modeksempler i topologi