Indstil variation

Variationen af et sæt er et tal, der karakteriserer den -dimensionelle udstrækning af et sæt i -dimensionelt euklidisk rum. $k$ $n$

Nulvariationen af et sæt af et lukket afgrænset sæt er antallet af komponenter i dette sæt. For det enkleste tilfælde af et plan kaldes førsteordens variationen den lineære variation af sættet og er et integral: $V_{0}(E)$ $E$ $V_{1}(E)$

V_{1}(E)=c\int \limits _{0}^{2\pi }\Phi (\alpha ,\;E)\,d\alpha

fra funktion

\Phi (\alpha ,\;E)=\int \limits _{\Pi _{\alpha }}V_{0}(E\cap \Pi _{\alpha ,\;z}^{\ perp })\,dz,

hvor integrationen udføres langs en lige linje, der går gennem oprindelsen; $\Pi _{\alpha }$

$\alfa$ er hældningsvinklen til den faste akse; er en ret linje vinkelret på og skærer den i et punkt . $\Pi _{\alpha }$ ${\displaystyle \Pi _{\alpha ,\;z}^{\perp ))$ $\Pi _{\alpha }$ $z$

Normaliseringskonstanten er valgt således, at variationen af segmentet falder sammen med dets længde. For tilstrækkeligt simple sæt, for eksempel for ensrettede kurver, er variationen af sættet lig med kurvens længde. For et lukket område med en retificerbar grænse er den lineære variation af sættet lig med halvdelen af længden af . $c$ $V_{1}(E)$ $E$ $E$ $\Gamma$ $V_{1}(E)$ $\Gamma$

Den anden variation af sættet (det vil sige af orden 2) er det todimensionelle mål for sættet . kl . $E$ $k>2$ $V_{k}(E)=0$

For et dimensionelt euklidisk rum er variationen af rækkefølgen af et afgrænset lukket sæt integralet af nulvariationen af skæringen med det -dimensionelle plan over rummet af alle -dimensionelle planer fra , med Haar-målet normaliseret, således at enheden -dimensional terning har en variation af sættet . $n$ $V_{i}(E)$ $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$ $E$ ${\displaystyle V_{k}(E)=\int \limits _{\Omega _{k}^{n))V_{0}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta ))$ $E$ $(nk)$ $\beta$ ${\displaystyle \Omega _{k}^{n))$ $(nk)$ $R_n$ ${\displaystyle d\mu _{\beta ))$ $k$ ${\displaystyle J_{k))$ $V_{k}(J_{k})=1$

Variationen af sættet falder sammen med sættets dimensionelle Lebesgue- mål . For konvekse kroppe falder variationen af sættet, med korrekt normalisering, sammen med blandede Minkowski-volumener [1] . $V_{n}(E)$ $n$ $E$

Indstil variationsegenskaber

For , variationen af sættet afhænger ikke af om det er beregnet for eller for . ${\displaystyle E\subset R_{n}\subset R_{n'))$ $V_{k}(E)$ ${\displaystyle E\subset R_{n))$ ${\displaystyle E\subset R_{n'))$
For variationer af sæt gælder følgende formel :

\int \limits _{\Omega _{k}^{n}}V_{i}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta }=c(n,\;k, \;i)V_{k+i}(E),\quad k+i\leqslant n,

hvor er en normaliseringskonstant. $c(n,\;k,\;i)$

Af det følger, at . $V_{i}(E)=0$ $V_{i+1}(E)=0$
For enhver sekvens af tal , hvor er et heltal, , ; , er det muligt at konstruere et sæt , hvortil . Dette udtrykker i en vis forstand variationerne af sættets uafhængighed af hinanden. ${\displaystyle a_{0},\;a_{1},\;\ldots ,\;a_{n))$ $a_{0}>0$ $0<a_{i}\leqslant \infty$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n-1$ $a_{n}=0$ ${\displaystyle E\subset R_{n))$ $V_{i}(E)=a_{i}$ $i=0,\;l,\;2,\ldots ,\;n$
$V_{i}(E_{1}\cup E_{2})=V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2})$ , hvis og ikke krydser hinanden. Generelt $E_1$ $E_2$

V_{i}(E_{1}\cup E_{2})\leqslant V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2}).

For variation er sættene ikke monotone, det vil sige, det kan vise sig, at for . $i=0,\;2,\;\ldots ,\;n-1$ $V_i$ $V_{i}(E_{1})<V_{i}(E_{2})$ ${\displaystyle E_{1}\upset E_{2))$

Variationerne af mængderne er semikontinuerlige, det vil sige, hvis en sekvens af lukkede afgrænsede mængder konvergerer (i betydningen afvigelsesmetrikken) til mængden , så $E_k$ $E$

V_{0}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{0}(E_{n}).

Hvis beløbene er ensartet afgrænset, så $V_{0}(E_{k})+\ldots +V_{i-1}(E_{k})$

V_{i}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{i}(E_{n}),\quad i=1,\;2,\;\ldots ,\; n.

Variationen af sættet falder sammen med det -dimensionelle Hausdorff-mål for sættet hvis , og $V_{k}(E)$ $k$ $E$ $V_{k+1}(E)=0$

V_{0}(E)+V_{1}(E)+\ldots +V_{k}(E)<\infty .

Disse betingelser er opfyldt, for eksempel for dobbelt glatte manifolds.

Historie

Begrebet "variation af et sæt" opstod i forbindelse med undersøgelsen af løsninger af Cauchy-Riemann-systemet og tilhører i sin endelige formulering A. G. Vitushkin. Sætvariation er et nyttigt værktøj til at løse nogle analyseproblemer, især ved undersøgelse af superpositioner af funktioner af mange variable [2] såvel som i tilnærmelsesspørgsmål [3] [4] .

Litteratur

Vitushiin A. G. Rapporter fra Videnskabsakademiet i USSR. - 1966. - v. 166. - Nr. 5. - s. 1022-1025.
Ivanov L. D. Matematisk samling. - 1967. - v. 72 (114). - nr. 3. - s. 445-470.
Ivanov L. D. Matematisk samling. - 1969. - v. 78 (120). - nr. 1. - s. 85-100.
Ivanov L.D. Variationer af sæt og funktioner. - M. : Nauka, 1975. - 352 s.

Noter

↑ Leontovich A. M., Melnikov M. S. Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 1965. - v. 14. - s. 306-337
↑ Vitushiin A. G. Om flerdimensionelle variationer. - M., 1955.
↑ Vitushiin A. G. Estimering af kompleksiteten af tabuleringsproblemet. - M., 1959.
↑ Ivanov, 1975 , s. 313.