Borel sigma algebra

En Borel sigma algebra er en minimal sigma algebra , der indeholder alle åbne delmængder af et topologisk rum (den indeholder også alle lukkede ). Disse delmængder kaldes også Borel.

Medmindre andet er angivet, fungerer den reelle linje som et topologisk rum .

Borel sigma algebraen fungerer normalt som en sigma algebra af tilfældige hændelser i et sandsynlighedsrum . Borel sigma-algebraen på en linje eller på et segment indeholder mange "simple" sæt: alle intervaller, halve intervaller, segmenter og deres tællelige foreninger.

Opkaldt efter Émile Borel .

Relaterede begreber

Et Borel-rum er et topologisk rum udstyret med en Borel sigma-algebra.
En Borel (Borel) funktion er en kortlægning fra et topologisk rum til et andet (normalt er begge rum med reelle tal ), for hvilket det omvendte billede af ethvert Borel-sæt er et Borel-sæt.
Et Borel- mål er et mål defineret på alle åbne (og dermed på alle Borel) sæt af et topologisk rum.

Egenskaber

Hver borel indstillet på et interval er målbar i forhold til Lebesgue-målet , men det modsatte er ikke sandt.

Et eksempel på et Lebesgue-målbart, men ikke Borel-sæt

Enhver delmængde af et sæt af mål nul er automatisk Lebesgue-målbar, men en sådan delmængde behøver ikke at være Borel.

Overvej en funktion på intervallet , hvor er Cantor-stigen . Denne funktion er monoton og kontinuerlig, og som konsekvens heraf er den målbar. Funktionen omvendt til den er også målbar. Målingen af billedet af Cantor-sættet er , da målet for billedet af dets komplement er . Da målet for billedet af et Cantor-sæt ikke er nul, er det muligt at finde et umålbart sæt i det . Så vil dets omvendte billede være målbart (da det ligger i et Cantor-sæt, hvis mål er nul), men ikke Borel (fordi ellers ville det være målbart som det omvendte billede af et Borel-sæt under en målbar mapping ). $f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))$ $[0,1]$ $c(x)$ ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$ $EN$ $f^{-1}(A)$ $EN$ $f^{-1}(x)$

Litteratur

V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Moderne mængdeteori: Borel og projektive sæt . - MTsNMO, 2010. - 320 s. — ISBN 78-5-94057-683-9.