Padé tilnærmelse

Padé-tilnærmelsen er en klassisk metode til rationel tilnærmelse af analytiske funktioner , opkaldt efter den franske matematiker Henri Padé . Metoden består i at repræsentere funktionen som et forhold mellem to polynomier , hvis koefficienter er bestemt af koefficienterne for udvidelsen af funktionen i en Taylor-række . Til nedbrydning

f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots

ved hjælp af Padé-tilnærmelsen kan man optimalt vælge koefficienterne og og opnå tilnærmelsen $a_{i}$ $b_{i}$

{\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^ {M}}}.

Brugen af denne simple idé og dens generaliseringer har ført til mange resultater og er blevet nærmest en grundlæggende forskningsmetode.

Historie

Padés forfatterskab er baseret på hans afhandling fra 1892 [1] (en kopi af afhandlingen opbevares i Cornell University Library ). I dette arbejde studerede han sådanne tilnærmelser og arrangerede dem i en tabel , mens han var meget opmærksom på den eksponentielle funktion .

Definition

Lad der være en udvidelse af funktionen i en Taylor potensserie : $f(z)$

f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},

hvor er koefficienterne for serien. $c_{i}$

Padé-approksimanten er en rationel funktion af formen

[L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots + b_{M}z^{M}}},

hvis udvidelse i en Taylor-serie (centreret ved nul) falder sammen med udvidelsen af funktionen, så længe det er muligt. En funktion af denne art har koefficienter i tælleren og - i nævneren. Hele sættet af koefficienter bestemmes op til en fælles faktor $f(z)$ $L+1$ $M+1$ .

Pade table

Generaliseringer

Multipoint Padé Approximations
Baker-Gammel Approximations
Approksimation af en funktion af flere variable
Matrix Padé tilnærmelsesvis
Padé-Chebyshev tilnærmelse
Padé-Fourier tilnærmelse

Numeriske metoder til at finde

Noter

↑ H. Padé. Sur la représentation approchée d'une fonction par des fraktions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892.

Bibliografi

George A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Padé Approximant = Padé Approximant / pr. fra engelsk. E. A. Rakhmanova, S. P. Suetina; udg. A. A. Gonchar. — M .: Mir, 1986. — 502 s. - 6400 eksemplarer.