Antiparallelle linjer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. februar 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Antiparallelle linjer - linjer, der danner lige store vinkler i skæringspunktet mellem to givne linjer (eller sider af en given vinkel), men fra modsatte sider (fig. 1).

Definition

Linjerne og kaldes antiparallelle med hensyn til linjerne og , hvis i fig. 1. Hvis linjerne og skærer hinanden på et tidspunkt , så kaldes og også antiparallelle med hensyn til vinklen . Hvis linjerne og falder sammen, så kaldes de antiparallelle i forhold til en linje (fig. 2) [1] . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $\angle 1=\angle 2$ $m_1$ $m_2$ $O$ $l_{1}$ $l_{2}$ ${\displaystyle m_{1}\!Om_{2))$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$

Det kan ses ud fra definitionen, at i modsætning til parallelisme er antiparallelisme af to linjer et relativt begreb. Det er meningsløst at sige, at "linjer og antiparalleller", medmindre det er specificeret med hensyn til hvilken vinkel eller hvilke to linier de er antiparallelle. Men når man betragter trekanter, siges det ofte, at en linje er "anti-parallel med en side af trekanten", mens det antyder, at den er anti-parallel med den med hensyn til de to andre sider . Sådan en ret linje kaldes også antiparallellen af en trekant [2] . $l_{1}$ $l_{2}$

Egenskaber

Hvis linjerne og er antiparallelle med hensyn til og , så er de også antiparallelle med hensyn til og . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$
To linjer er antiparallelle med hensyn til en vinkel, hvis og kun hvis de danner den samme vinkel, men i modsatte retninger, med halveringslinjen for denne vinkel (fig. 3). $l_{1}$ $l_{2}$
To lige linjer, antiparallelle i forhold til vinklens sider, afskærer omvendt proportionale segmenter på dem. Omvendt er linjer med denne egenskab antiparallelle. Dette antyder umiddelbart (ved sekantsætningen ) at

Skæringspunkterne for to par antiparallelle linjer ligger på den samme cirkel. Og omvendt, for enhver firkant indskrevet i en cirkel, er to modstående sider antiparallelle i forhold til de to andre sider (fig. 4).

Alle antiparalleller til en eller anden side af trekanten er parallelle med hinanden.
Hvis cirklen, der går gennem hjørnerne og af trekanten skærer siderne og på punkterne og henholdsvis, så er linjen antiparallel . Hvis cirklens radius øges, så den også passerer gennem toppunktet , så bliver sekanten tangent i punktet . Følgelig, $B$ $C$ $ABC$ $AB$ $AC$ $D$ $F$ $DF$ $f.Kr$ $EN$ $DF$ $EN$

En tangent til en cirkel, der er afgrænset omkring en trekant, tegnet ved et af dens spidser, er antiparallel til den modsatte side. Derfor
Radius af den omskrevne cirkel, tegnet fra trekantens toppunkt, er vinkelret på alle linjer antiparallelle til den modsatte side.

Linjen, der forbinder bunden af de to højder af en trekant, er antiparallel med den tredje side (fordi højdernes grundflader ligger på cirklen tegnet på den side som en diameter), så siderne af en ortocentrisk trekant er antiparallelle med siderne af den oprindelige trekant.

Historie

Tilsyneladende blev udtrykket "antiparallel" først brugt af Leibniz ( Acta Eruditorum , 1691, s.279), men han gav det en anden betydning. Definitionen af antiparallelle linjer i moderne forstand er givet i E. Stones bog "A New Mathematical Dictionary" (1743). [3] Se også [4] [5] .

Se også

Noter

↑ A. B. Ivanov. Matematisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ Efremov D. Ny geometri af en trekant . - Odessa, 1902.
↑ F. Cajori. Elementær matematiks historie / overs. fra engelsk. udg. I.Yu. Timchenko. - Odessa, 1910. - S. 282.
↑ WJ James. Brugen af ordet antiparallel // Natur. - 1889. - T. 41 , nr. 1045 . - S. 10 .
↑ E. M. Langley. Om brugen af ordet antiparallel // Nature. - 1889. - T. 41 , nr. 1049 . - S. 104-105 .

Litteratur

Efremov D. Ny trekantgeometri . - Odessa, 1902.
Zetel S.I. Ny trekantgeometri. - M. , 1962.