Algebraisk Bianchi identitet

Den algebraiske Bianchi-identitet er en vis form for symmetri af krumningstensoren . Også kendt som Bianchi-Padova-identiteten [1] ), eller den første Bianchi-identitet . Identiteten blev fundet af Gregorio Ricci-Curbastro , men den kaldes den første Bianchi-identitet, fordi den ligner den differentielle identitet beskrevet af Luigi Bianchi .

Ordlyd

Riemann-tensoren opfylder følgende identitet:

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

som kaldes den algebraiske Bianchi-identitet

Bemærk

Denne identitet svarer til følgende relation for komponenterne i krumningstensoren:

R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0

Identitets stavemåder

Da Riemann-tensoren har to antisymmetriske indekspar (tensoren vender sit fortegn, når to indekser ombyttes inden for hvert af parrene), og tensoren er symmetrisk, når selve parrene byttes om, kan vi f.eks. bytte om på de to første indekser. Vi får (skifter tegnet):

(1a)\qquad R_{{isjk}}+R_{{jski}}+R_{{ksij}}=0

Hvis vi nu bytter indekspar, får vi:

(1b)\qquad R_{{jkis}}+R_{{kijs}}+R_{{ijks}}=0

Alle disse identiteter er ækvivalente, og de kan beskrives med ord som følger: vi fikserer et af indekserne for Riemann-tensoren, og med de tre andre indekser udfører vi tre cykliske permutationer. Summen af komponenterne i Riemann-tensoren med de opnåede tre sæt indekser er lig med nul.

Andre muligheder opnås ved at hæve et eller flere indekser, for eksempel:

(1c)\qquad R_{{\;ijk}}^{s}+R_{{\;jki}}^{s}+R_{{\;kij}}^{s}=0

Antisymmetriisering af Riemann-tensoren

Ved at bruge den metriske matryoshka-tensor , for en vilkårlig rang-tensor, er det muligt at komponere følgende tensor, der er antisymmetrisk i alle indekser: $T_{{i_{1}\cdots i_{m}}}$ $m$

(16)\qquad A_{{i_{1}\dots i_{m}}}={1 \over m!}g_{{i_{1}\dots i_{m}}}^{{j_{1} \dots j_{m}}}T_{{j_{1}\dots j_{m}}}

Det er klart, at den antisymmetriske tensor forbliver uændret efter antisymmetriseringsproceduren.

Lad os anvende antisymmetri på Riemann-tensoren:

(17)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 4!}g_{{sijk}}^{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}R_{{s_ {1}i_{1}j_{1}k_{1}}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{{s_{1}}}\delta _{i }^{{s_{1}}}\delta _{j}^{{s_{1}}}\delta _{k}^{{s_{1}}}\\\delta _{s}^{ {i_{1}}}\delta _{i}^{{i_{1}}}\delta _{j}^{{i_{1}}}\delta _{k}^{{i_{1} }}\\\delta _{s}^{{j_{1}}}\delta _{i}^{{j_{1}}}\delta _{j}^{{j_{1}}}\ delta _{k}^{{j_{1}}}\\\delta _{s}^{{k_{1}}}\delta _{i}^{{k_{1}}}\delta _{ j}^{{k_{1}}}\delta _{k}^{{k_{1}}}\end{vmatrix}}R_{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1 }}}

Når vi udvider determinanten, får vi 24 led ved permutation af indekser , og parrede permutationer vil være med et plustegn og ulige permutationer med et minustegn: $sijk$

(18)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 24}\left((R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})-(R_{{sjik} }+R_{{sikj}}+R_{{sji}})+\dots \right)

I alt vil formel (18) indeholde otte grupper af udtryk, hver tre led. I betragtning af Riemann-tensorens symmetri er det let at se, at alle disse otte grupper er ens (med forbehold for tegn). Derfor får vi:

(19)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 3}(R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})

Nu kan den algebraiske Bianchi-identitet beskrives med ord som følger: Antisymmetriseringen af Riemann-tensoren er lig med nul.

Antal lineært uafhængige komponenter af indre krumning

Hvis er dimensionen af manifolden , så er antallet af kombinationer i det antisymmetriske indekspar lig med: $n$

(20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}

Da Riemann-tensoren er symmetrisk med hensyn til permutationen af indekspar, skrives dens komponenter (op til et tegn) med et sådant antal forskellige tal:

(21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\ ret)

Men disse tal er forbundet af lineære afhængigheder, der følger af den algebraiske Bianchi-identitet. Antallet af disse ligninger, som det er let at se fra formel (19), er lig med antallet af væsentligt forskellige komponenter i den fjerderangs antisymmetriske tensor : $A_{{ijkl}}$

(22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}

(Bemærk, at formel (22) giver det korrekte resultat, dvs. nul, når ) Derfor er antallet af lineært uafhængige komponenter i Riemann-tensoren lig med forskellen: $n<4$

(23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{ 2}(n^{2}-1) \over 12}

Formel (23) giver kun det maksimalt mulige antal lineært uafhængige komponenter af Riemann-tensoren for en given manifolddimension. Og for specifikke manifolder kan dette antal være mindre. For et fladt rum er dette tal for eksempel lig nul, og for en hyperflade i hovedretningernes koordinatsystem har vi formlen for indeksene: $i \ne j$

(24)\qquad R_{{ijij}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}

og følgelig overstiger antallet af lineært uafhængige komponenter ikke antallet af kombinationer af 2, dvs.: $n$

(25)\qquad N_{{hypersurface}}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}

Relation til andre egenskaber ved indre krumning

På grund af den algebraiske Bianchi-identitet er den iboende krumning af en manifold fuldstændig bestemt af værdierne af følgende kvadratiske form i bivectors : $\sigma ^{{ij}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}$

(26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{{ijkl}}\sigma ^{{ij}}\sigma ^{{kl}}

Også relateret til den algebraiske Bianchi-identitet er muligheden for et alternativt syn på indre krumning gennem den symmetriske intrinsiske krumningstensor .

Se også

Bianchis differentielle identitet

Noter

↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. — M.: Nauka, 1973