Algebraisk uafhængighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. april 2014; checks kræver 3 redigeringer .

Algebraisk uafhængighed er et begreb i teorien om feltudvidelser .

Lad en udvidelse af feltet . Elementer kaldes algebraisk uafhængige, hvis for et vilkårligt ikke-identisk nulpolynomium med koefficienter fra feltet $L$ $K$ $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $K$

P(\alpha _{1},\dots,\alpha _{n})\neq 0

Ellers kaldes elementerne algebraisk afhængige. Et uendeligt sæt af elementer kaldes algebraisk uafhængige, hvis hver af dets endelige delmængder er uafhængige, og ellers kaldes afhængige. Definitionen af algebraisk uafhængighed kan udvides til tilfældet, når er en ring og er dens underring . $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $L$ $K$

Algebraisk uafhængighed af kendte konstanter

Lad konstanterne og være kendt for at være transcendentale, men det vides ikke, om deres sæt er algebraisk uafhængig over . [1] Det vides ikke engang om . [2] Nesterenko beviste i 1996, at: $e$ $\pi$ $\mathbb {Q}$ $\pi +e$

tal , og er algebraisk uafhængige over ; [3] $\pi$ $e^{{\pi ))$ $\Gamma (1/4)$ $\mathbb {Q}$
tal og er algebraisk uafhængige over ; $e^{{\pi {\sqrt {3))))$ $\Gamma (1/3)$ $\mathbb {Q}$
for alle positive heltal er tallene algebraisk uafhængige over ; [fire] $n$ $e^{{\pi {\sqrt {n))))$ $\mathbb {Q}$

Eksempel

En delmængde af feltet af reelle tal er ikke algebraisk uafhængig over feltet, da polynomiet er ikke-trivielt med rationelle koefficienter og . $\{{\sqrt {\pi ));2\pi +1\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ $P({\sqrt {\pi )),2\pi +1)=0$

Se også

Lindemann-Weierstrass sætning

Noter

↑ Patrick Morandi. Felt- og Galois-teori . - Springer, 1996. - S. 174. - ISBN 978-0-387-94753-2 . Arkiveret 8. oktober 2021 på Wayback Machine
↑ Green, Ben (2008), III.41 Irrationelle og transcendentale tal, i Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, s. 222
↑ Manin, Yu. I. Introduktion til moderne talteori / Yu. I. Manin, A.A. Panchishkin. - Sekund. - 2007. - Bd. 49. - S. 61. - ISBN 978-3-540-20364-3 .
↑ Nesterenko, Yuri V (1996). "Modulære funktioner og transcendensproblemer". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 322 (10): 909-914.

Algebraisk uafhængighed

Algebraisk uafhængighed af kendte konstanter

Eksempel

Se også

Links

Noter