Bachmanns aksiomatik

Bachmanns aksiomatik er et system af aksiomer for neutrale og euklidiske geometrier , bygget på konceptet om grupper af bevægelser. Foreslået af Friedrich Bachmann . [en]

Notation

Omskifteligheden af to elementer i en gruppe, det vil sige opfyldelsen af identiteten vil blive betegnet med ; betyder samtidig udførelse af , , og . $a\cdot b=b\cdot a$ $a|b$ $a,b|c,d$ $a|c$ $a|d$ $b|c$ $b|d$

Givet en gruppe med et fornemt invariant system af generatorer , bestående af involutive elementer . Elementer fra er angivet med små latinske bogstaver. Disse involutive elementer fra det kan repræsenteres som et produkt af to elementer fra (det vil sige elementer i formen , hvor ) er angivet med store latinske bogstaver. ${\mathfrak {G}}$ ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {G}}$ ${\mathfrak {S}}$ $a\cdot b$ $a,b\in {\mathfrak {S))$

Neutral geometri

Aksiom 1. For enhver er der sådan, at . $P$ $Q$ $g$ $P,Q|g$

Aksiom 2. Det følger, at eller . $P,Q|g,h$ $P=Q$ $g=h$

Aksiom 3. Hvis , Så er der et element sådan, at . $a,b,c|P$ $d$ $a\cdot b\cdot c=d$

Aksiom 4. Hvis , Så er der et element sådan, at . $a,b,c|g$ $d$ $a\cdot b\cdot c=d$

Aksiom D. Der eksisterer sådan, at , og ingen af relationerne , , . $g,h,j$ $g|h$ $j|g$ $j|h$ $j|g\cdot h$

Forbindelse med de sædvanlige aksiomer

Dette system af aksiomer er opfyldt af grupperne af euklidiske og ikke-euklidiske planer, hvis de tages som et sæt af aksiale symmetrier. I dette tilfælde vil de uønskede elementer i gruppen, der kan repræsenteres som et produkt af to elementer fra , vise sig at være centrale symmetrier. ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

Således kan sættet identificeres med sættet af linjer på planet, og sættet af involutive elementer i gruppen kan repræsenteres som et produkt af to elementer fra med et sæt punkter. ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

hvori,

forhold betyder, at punktet ligger på en linje . $P|a$ $P$ $-en$
forhold betyder, at linjen er vinkelret på linjen ; $a|b$ $-en$ $b$
- i dette tilfælde er der et skæringspunkt og . $P=a\cdot b$ $-en$ $b$

Euklidisk geometri

Systemet for euklidisk geometri er suppleret med to aksiomer

Axiom R. Fra og følger . $a,b|c$ $a|d$ $b|d$

Aksiom V. For enhver eksisterer der altid det , eller der er en linje sådan, at . $a,b$ $C$ $a,b|C$ $c$ $a,b|c$

Noter

↑ Friedrich Bachmann. Konstruktion af geometri baseret på begrebet symmetri. - 1969.