Z-score

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. februar 2022; checks kræver 3 redigeringer .

En standardiseret score ( z-score, engelsk: Standard score , z-score ) er et mål for den relative spredning af en observeret eller målt værdi, som viser, hvor mange standardafvigelser dens relative middelspredning giver . Det er en dimensionsløs statistik, der bruges til at sammenligne værdier af forskellige dimensioner eller måleskalaer.

Grundlæggende information

I sandsynlighedsteori og statistik er en standardiseret stokastisk variabel [1] en stokastisk variabel, hvis matematiske forventning er nul, og hvis standardafvigelse er én. Enhver stokastisk variabel x med matematisk forventning og standardafvigelse kan reduceres til en standardiseret stokastisk variabel ved at bruge formlen: . Denne transformation inkluderer tilfældig variabel centrering (forskellen mellem en given stokastisk variabel x og dens middelværdi ) og normalisering (forholdet mellem en given stokastisk variabel x og dens standardafvigelse ). Fordelingen af en standardiseret normal stokastisk variabel kaldes en standard normalfordeling med en tæthedsfunktion . $\mu$ $\sigma$ $z$ ${x-\mu \over \sigma }$ ${\displaystyle {(x-\mu)))$ $\mu$ ${x \over \sigma }$ $\sigma$ $z$ $N(0,1)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-z^{2}}{2}}\right)$

Begrebet en standardiseret stokastisk variabel er et specialtilfælde af en reduceret stokastisk variabel defineret af en relativ central værdi og en skalaparameter, der ikke er middelværdi og standardafvigelse.

I praktiske applikationer kan ethvert sæt data med middelværdi og standardafvigelse konverteres til et andet sæt med middelværdi og standardafvigelse på en sådan måde, at de konverterede værdier udtrykkes direkte i afvigelser af de oprindelige værdier fra middelværdien, målt i standardafvigelsesenheder. $x_{i}$ ${\bar {X}}$ $S$ $0$ $en$ $z$

Det faktum, at z-scores hører til standard normalfordelingen, giver mulighed for at bruge z-scores til at sammenligne uensartede værdier af primære målinger. De fleste statistiske metoder er baseret på den antagelse, at fordelingen af data er normal, så brugen af z-scores i forbindelse med transformationen til normalitet udvider i høj grad mulighederne for yderligere analyser og forskning. $N(0,1)$

Beregningsmetode

Det standardiserede værdiestimat beregnes med formlen [2] : $x$

z={x-{\bar {X}} \over S_{x}}

hvor er middelværdien af , er standardafvigelsen beregnet for datasættet . ${\bar {X}}$ $S_{x}$ $xi$

Værdier og kan beregnes ud fra stikprøvedata eller opnås i den generelle befolkning eller etableres for en eller anden population . ${\bar {X}}$ $S_{x}$

Fortolkning

Den absolutte værdi af z er et estimat (i standardafvigelsesenheder) af afstanden mellem x og dets populationsmiddelværdi μ . Hvis z er mindre end nul, så er x under gennemsnittet, hvis z er større end nul, så er x placeret over gennemsnittet μ .

Værdier er ikke kun et bekvemt middel til information om positionen af en værdi forbundet med middelværdien og målt i standardafvigelsesenheder, men også et skridt fremad i at konvertere sættet til en vilkårlig skala med praktiske karakteristika for middelværdien og standardafvigelsen . $z$ $xi$

Percentilækvivalent af z-scores

Da fordelingen af z-score er tilnærmet ved en standard normalfordeling, er der en en-til-en overensstemmelse mellem percentiler (q-ordenskvantiler) og z-værdier. Dette giver dig mulighed for utvetydigt at oversætte skalaen for ranggraderinger eller point til z-scoreværdier og omvendt (for eksempel svarer værdien z=-3 til 0,13 percentilen, z=- 2 til 2,3 percentilen, z= -1 til 15,9 percentilen osv.). $\Højre pil$ $\Højre pil$

Praktisk anvendelse

Der er mange måleskalaer med vilkårlige midler og standardafvigelser, som er almindelige i samfundsvidenskaberne.

Pædagogik og psykologi

Skalaresultater er almindelige, når testresultater er fastsat ud fra deres placering på en speciel skala, der indeholder data om interne testresultater. Intelligenstestresultater konverteres ofte til en skala med et gennemsnit på 100 og en standardafvigelse på 15 eller 16. Værdier er indikatorer [3] , beregnet som har bred anvendelse. $T$ $10z+50$

Et andet eksempel på en ikke-lineær transformation til en standardskala er standard ni , når de primære indikatorer er rangeret i stigende rækkefølge og opdelt i grupper med et tal proportionalt med visse frekvenser af vurderinger af normalfordelingen, de resulterende vurderinger tager værdier fra 1 til 9 ( =5, =2). Der er mange skalaer baseret på standardiserede scores. $\mu$ $\sigma$

Pædiatri

Normalisering bruges til at beskrive patienters egenskaber under hensyntagen til deres heterogenitet. I pædiatrisk praksis er standardafvigelsesscoren (sds) blevet brugt i vid udstrækning, som er beregnet på basis af stikprøvegennemsnittet og standardafvigelsen af referenceindikatorer for et barn af et givet køn og en given alder [4] . Afvigelsen af fordelingen af fysiske udviklingsindikatorer fra normalen førte til brugen af at centrere de målte værdier med medianen i stedet for middelværdien , hvor er medianen og er 10. og 90. percentilen af referenceindikatoren for et barn af samme køn og alder. ${x-{\bar {X}} \over S_{x}}$ ${\bar {X}}$ $S_{x}$ ${x-Me \over Pr90-Pr10}$ $Mig$ $Pr10,Pr90$

Behovet for at tage hensyn til formen for fordelinger af indikatorer for fysisk udvikling [5] førte til brugen af en z-score beregnet som

$z={\begin{cases}{\frac {(y/M)^{L}-1)}{L\ S)),&{\text{if }}L\neq 0\\{ \frac {1}{S}}ln(y/M),&{\text{ if }}L=0\end{cases}}$

hvor y er den målte værdi af indikatoren, er transformationskoefficienten af Box-Cox til normalitet, er medianen, er variationskoefficienten for reference- eller standardindikatoren for et barn af samme køn og alder. $L$ $M$ $S$

De moderne WHO-retningslinjer præsenterer standard- og referenceværdier for koefficienterne L, M, S til undersøgelse af børns fysiske udvikling [6] , og WHO ANTHROPlus-softwaren [7] er udviklet til at arbejde med dem.

Se også

Variation (statistik)

Noter

↑ GOST R 50779.10-2000 (ISO 3534.1-93) Statistiske metoder. Sandsynlighed og grundlag for statistik. Begreber og definitioner
↑ Melnik M. Fundamentals of anvendt statistik. - Moskva: Energoatomizdat, 1983. - 416 s.
↑ J. Glass, J. Stanley. Statistiske metoder i pædagogik og psykologi. - Fremskridt, 1976. - 496 s.
↑ Veltishchev Yu. E. Objektive indikatorer for barnets normale udvikling og sundhedstilstand (standarder for barndom). - Moskva, 2002. - S. 96. - ISBN NLA 575 / BN2-25072017 / 89.
↑ Borghi E. Konstruktion af Verdenssundhedsorganisationens børnevækststandarder: udvælgelse af metoder til opnåede vækstkurver // Statistics in Medicine. - 2006. - T. 25 . — S. 247–265 .
↑ WHO Child Growth Standards . Verdenssundhedsorganisationen . Hentet 23. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 22. oktober 2017. (ubestemt)
↑ WHO Anthro softwareværktøj til personlige computere . WHO-standarder for børns vækst . Hentet 23. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 21. oktober 2017. (ubestemt)