Kugleformet segment

Et sfærisk segment er en overflade , en del af en kugle afskåret fra den af et bestemt plan . Flyet afskærer to segmenter: Det mindre segment kaldes også den sfæriske cirkel [1] . Hvis skæreplanet passerer gennem midten af kuglen, så er højden af begge segmenter lig med kuglens radius, og hver af disse kugleformede segmenter kaldes en halvkugle .

Et sfærisk segment er et geometrisk legeme , en del af en kugle afskåret fra det af et bestemt plan. Overfladen af et sfærisk segment er foreningen af et sfærisk segment og en cirkel (bunden af det sfæriske segment), hvis grænser falder sammen.

Volumen og overfladeareal

Hvis radius af bunden af segmentet er , højden af segmentet er , så er volumenet af det sfæriske segment [2] $-en$ $h$

V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),

segmentets overfladeareal er

A=2\pi rh

eller

A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).

Parametre , og er relateret af relationer $-en$ $h$ $r$

r^{2}=(rh)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},

r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.

Substitution af det sidste udtryk i den første formel til beregning af arealet fører til ligheden

A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).

Bemærk, at i den øverste del af kuglen (det blå segment i figuren) i den nederste del af kuglen , er udtrykket derfor gyldigt for begge segmenter, og et andet udtryk for volumen kan gives: $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $a={\sqrt {h(2r-h)))$

V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).

Formlen til bestemmelse af volumen kan også opnås ved at integrere omdrejningsfladen:

V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3} }r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi}{3}}r^{3}(\ cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.

Ansøgning

Volumenet af foreningen og skæringspunktet mellem to skærende sfærer

Rumfanget af forening af to sfærer med radier r 1 og r 2 er [3]

{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)))

hvor

V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{ 3}

er summen af rumfanget af de to kugler hver for sig, og

V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{ 2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})

er summen af rumfanget af to sfæriske segmenter, der danner skæringspunktet mellem disse sfærer. Lad d < r 1 + r 2 være afstanden mellem sfærernes centre, så fører elimineringen af værdierne h 1 og h 2 til udtrykket [4] [5]

V^{(2)}={\frac {\pi }{12d))(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d( r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\højre).

Overfladeareal afgrænset af cirkler med forskellige breddegrader

Overfladearealet afgrænset af cirkler med forskellige breddegrader er forskellen mellem overfladearealerne af de to tilsvarende sfæriske segmenter. For en kugle med radius r og breddegrader φ 1 og φ 2 er dette område [6]

A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.

Arealet af et kvadratisk areal af en kugles overflade

Et segment skåret på en kugle med radius r af fire buer af storcirkler med samme vinkellængde θ og parvis vinkelret (et sfærisk kvadrat analogt med et kvadrat på en plan) har areal

A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).

Hvis vinklen θ er lille (sammenlignet med 1 radian ), så er den omtrentlige lighed gyldig, baseret på tilnærmelsen ved $\cos x\to 1-x^{2}/2$ $x\to 0:$

A\approx 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.

For eksempel er arealet af et kvadratisk areal af jordens overflade ( R ⊕ = 6378 km) med sider lig med 1 grad

A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\ca. R_{\oplus }^{ 2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\ca. 12\,391\,{\text{km}}^{2}.

1 kvadratsekund af Jordens overflade har et areal 3600 2 gange mindre: A (1 ′′) ≈ 12 391 km 2 / (60 60) 2 ≈ 956 m 2 .

Generaliseringer

Sektioner af andre organer

Et sfæroidt segment opnås ved at skære en del af sfæroiden af på en sådan måde, at den har cirkulær symmetri (har en rotationsakse). Et ellipseformet segment er defineret på lignende måde.

Hypersfæresegment

Volumenet af et -dimensionelt segment af en hypersfære med højde og radius i -dimensionelt euklidisk rum bestemmes af formlen [7] $n$ $h$ $r$ $n$

V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2 }}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,

hvor ( gammafunktion ) er givet ved $\Gamma$ $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Udtrykket for volumen kan omskrives i form af volumenet af den enhedsdimensionelle kugle og den hypergeometriske funktion eller den regulariserede ufuldstændige betafunktion som $V$ $n$ $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ ${}_{2}F_{1}$ $I_{x}(a,b)$

V=C_{n}\,r^{n}\venstre({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {rh}{r}}\,{\frac { \Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\ ,}_{2}F_{1}\venstre({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1-n}{2));{\tfrac {3}{2));\venstre ({\tfrac {rh}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh -h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

Formlen for overfladeareal kan skrives i form af overfladearealet af en enhedsdimensional kugle som $EN$ $n$ $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$

A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({ \frac {n-1}{2)),{\frac {1}{2}}\right),

hvor $0\leq h\leq r.$

Følgende formler er også gyldige [8] : hvor $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ $q=1-t/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1 )}{2}},$

G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.

På $n=2k+1:$

G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+ 1 }}{2i+1}}.

Det blev vist [9] at for og hvor er standard normalfordelingen . $n\to \infty$ $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ $F()$

Litteratur

A. I. Markushevich, A. Ya. Khinchin, P. S. Alexandrov. Grundlæggende begreber for sfærisk geometri // Encyclopedia of elementary mathematics. Bog 4 - Geometri . - Moskva: GIFML, 1963.

Noter

↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 519-520.
↑ Polyanin AD, Manzhirov AV Håndbog i matematik for ingeniører og videnskabsmænd (engelsk) . - Chapman & Hall/CRC, 2007. - S. 69. - ISBN 9781584885023 . Arkiveret 2. februar 2017 på Wayback Machine
↑ Connolly ML Beregning af molekylært volumen // J. Am. Chem. soc. - 1985. - Bd. 107 . - S. 1118-1124 . - doi : 10.1021/ja00291a006 .
↑ Pavani R., Ranghino G. En metode til at beregne volumen af et molekyle // Comput . Chem. - 1982. - Bd. 6 . - S. 133-135 . - doi : 10.1016/0097-8485(82)80006-5 .
↑ Bondi A. Van der Waals volumener og radier // J. Phys . Chem.. - 1964. - Bd. 68 . - S. 441-451 . - doi : 10.1021/j100785a001 .
↑ Donaldson SE, Siegel SG Succesfuld softwareudvikling . - 2. udgave .. - Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. - S. 354. - ISBN 0-13-086826-4 .
↑ Li S. Kortfattede formler for areal og volumen af en hypersfærisk hætte // Asian J. Math. stat. - 2011. - Bd. 4 , nr. 1 . - S. 66-70 . - doi : 10.3923/ajms.2011.66.70 .
↑ Chudnov A. M. Om minimaksalgoritmer til generering og modtagelse af signaler // Probl. overførsel af information - 1986. - T. 22 . - S. 49-54 . (Russisk)
↑ Chudnov A. M. Spilteoretiske problemer med syntese af algoritmer til generering og modtagelse af signaler // Probl. overførsel af information - 1991. - T. 27 . - S. 57-65 . (Russisk)