Lach numre

Lach-tallene , opdaget af den slovenske matematiker Ivo Lach i 1955 [1] , er koefficienter, der udtrykker stigende faktorialer i form af faldende faktorialer .

Usignerede Lach-tal har en interessant betydning i kombinatorik - de afspejler antallet af måder, hvorpå et sæt af n elementer kan opdeles i k ikke-tomme ordnede delmængder. Lach-numre er relateret til Stirling-tal .

Usignerede Lach-numre (sekvens A105278 i OEIS ):

L(n,k)={n-1 \vælg k-1}{\frac {n!}{k!)))

Signerede Lach-numre (sekvens A008297 i OEIS ):

L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \vælg k-1}{\frac {n!}{k!}}.

L ( n , 1) er altid lig med n !. I ovenstående fortolkning af at opdele sættet {1, 2, 3} i 1, kan sættet udføres på 6 måder:

{(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)}, {(3, 2, 1)}

L (3, 2) svarer til 6 partitioner i to ordnede sæt:

{(1), (2, 3)}, {(1), (3, 2)}, {(2), (1, 3)}, {(2), (3, 1)}, {( 3), (1, 2)} eller {(3), (2, 1)}

L ( n , n ) er altid 1, fordi f.eks. partitionering af sættet {1, 2, 3} i 3 ikke-tomme delmængder resulterer i delmængder med længde 1.

{(1),(2),(3)}

Når du bruger Karamat-Knuth-notationen til Stirling-tal, blev det foreslået at bruge følgende alternative notation for Lach-numre:

L(n,k)=\venstre\lgulv {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\højre\rgulv .

Stigende og faldende factorials

Lad betegne den stigende factorial af , og betegne den faldende factorial af . ${\displaystyle x^{(n)))$ $x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)$ $(x)_{n}$ $x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$

Så og ${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}L(n,k)(x)_{k))$ $(x)_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{nk}L(n,k)x^{(k)}.$

For eksempel, $x(x+1)(x+2)={\color {rød}6}x+{\color {rød}6}x(x-1)+{\color {rød}1}x(x -1)(x-2).$

Sammenlign med den tredje række i værditabellen.

Identiteter og forbindelser

L(n,k)={n-1 \vælg k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \vælg k}{\frac {(n-1)!} {(k-1)!}}={n \vælg k}{n-1 \vælg k-1}(nk)!

L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(nk)!}}= \left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(nk)!}}

L(n,k+1)={\frac {nk}{k(k+1)}}L(n,k).

L(n,k)=\sum _{j}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\},

hvor er Stirlingtal af den første slags , og er Stirlingtal af anden slags . Hvis vi accepterer det og kl .

\left[{n\top j}\right]

{\displaystyle \left\{{j \top k}\right\))

L(0,0)=1

L(n,k)=0

k>n

L(n,1)=n!

L(n,2)=(n-1)n!/2

L(n,3)=(n-2)(n-1)n!/12

L(n,n-1)=n(n-1)

L(n,n)=1

\sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!)}}={\frac {1}{k!)}}\venstre( {\ frac {x}{1-x}}\right)^{k}

Tabel over værdier

Tabel over værdier af Lach-tal:

$_{n}\!\!\diagdown \!\!^{k}$	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12
en	en
2	2	en
3	6	6	en
fire	24	36	12	en
5	120	240	120	tyve	en
6	720	1800	1200	300	tredive	en
7	5040	15120	12600	4200	630	42	en
otte	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	en
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	en
ti	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	en
elleve	39916800	199584000	299376000	199584000	69854400	13970880	1663200	11880	4950	110	en
12	479001600	2634508800	4390848000	3293136000	1317254400	307359360	43908480	3920400	217800	7260	132	en

Se også

Noter

↑ Riordan, 1958 .

Litteratur

John Riordan. Introduktion til kombinatorisk analyse . - Princeton University Press, 1958. - ISBN 978-0-691-02365-6 . Artikel genudgivet i 1980 og igen i 2002 (Dover Publications)