Jacobi formel

Jacobi - formlen er en formel, der relaterer determinanten af en matrix, der opfylder en differentialligning i begyndelsen af integrationsintervallet, med determinanten af en matrix i slutningen af integrationsintervallet.

Ordlyd

Lade være en løsning af ligningen , hvor er matricer. Derefter: $X(t)$ ${\dot {X}}=A(t)X$ $X,A$

\det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)

Bevis

Det kan bevises, at [1] . I den bevisbare formel . Funktionen opfylder således betingelsen . Derfor , hvor [2] . ${\dot {(\det X)))=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})$ ${\dot {X}}X^{-1}=A(t)$ $y(t)=\det X(t)$ ${\dot {(\ln y)))={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)$ $y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)$ $c=y(0)=\det X(0)$

Noter

↑ Problemer og sætninger af lineær algebra, 1996 , s. 276.
↑ Problemer og sætninger af lineær algebra, 1996 , s. 273.

Litteratur

Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .