Formel Santalo

Santalo-formlen er en konsekvens af Liouville-sætningen om bevarelse af fasevolumen , der bruges til at integrere funktioner givet på bundtet af enhedssfærer i en Riemann-manifold . Det gør det nemlig muligt først at integrere over hver geodæt for sig, og derefter over alle geodætiske rum.

Dette værktøj bruges til at bevise isoperimetriske uligheder, [1] såvel som stivhedsresultater. [2]

Formlen er opkaldt efter Luis Santalo , som beviste det i 1952. [3] [4]

Ordlyd

Lad være en kompakt, orienteret Riemann-manifold med grænse . Vi antager, at længden af geodætik i er begrænset, det vil sige, at enhver geodætik når grænsen på et bestemt tidspunkt. Lad betegne det geodætiske flow på bundtet af enhedskugler . Derefter $(M,g)$ $\delvis M$ $M$ $\varphi _{t}\colon SM\to SM$ $SM$

\ \int \limits _{v\in SM}f(v)\cdot \mu =\int \limits _{w\in S_{+}\partial M}\left[\int \limits _{ 0}^{\tau (w)}f(\varphi _{t}(w))\cdot dt\right]\cdot \cos \theta (w)\cdot \sigma

for enhver integrerbar funktion på . Det antager vi samtidig $f$ $SM$

$\theta (w)$ er vinklen mellem og den indadrettede normal til ved basispunktet af vektoren , altså vektoren med basispunktet på grænsen af den indadrettede . $w$ $\delvis M$ $w\in S_{+}\partial M$ $\delvis M$ $M$
$\mu$ og er også riemannske volumenformer med hensyn til Sasaki-metrikken på og . $\sigma$ $SM$ $S_{+}\partial M$
$\tau (w)$ angiver udgangstiden for den geodætiske med begyndelsesbetingelser ; det er $w\in S_{+}\partial M$ ${\displaystyle \tau (w)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\in SM\))$

Se også

Noter

↑ Croke, Christopher B. "En skarp firedimensionel isoperimetrisk ulighed." Commentarii Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
↑ Ilmavirta, Joonas og Francois Monard. "4 Integreret geometri på manifolder med grænse og anvendelser." The Radon Transform: The First 100 Years and Beyond 22 (2019): 43.
↑ Santalo, Luis Antonio. Måling af sæt af geodetik i et Riemannsk rum og anvendelser til integralformler i elliptiske og hyperbolske rum. 1952
↑ Santaló, Luis A. Integralgeometri og geometrisk sandsynlighed. Cambridge University Press, 2004

Formel Santalo

Ordlyd

Se også

Noter

Links