Slater tilstand

Slater-betingelsen er en tilstrækkelig betingelse for streng dualitet i et konveks optimeringsproblem . Tilstanden er opkaldt efter Morton L. Slater [1] . Uformelt siger Slater-betingelsen, at en gyldig region skal have et indre punkt (se detaljer nedenfor).

Slater-betingelsen er et eksempel på regularitetsbetingelser [2] . Især hvis Slater-betingelsen er opfyldt for det primære problem , så er dualitetsgabet 0, og hvis værdien af det dobbelte problem er begrænset, nås den [3] .

Ordlyd

Overvej optimeringsproblemet

Minimer

f_{0}(x)

Med restriktioner

f_{i}(x)\leqslant 0,i=1,\ldots ,m

akse=b

hvor er konvekse funktioner . Dette er et eksempel på et konveks programmeringsproblem . ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{m))$

Med andre ord siger Slater-betingelsen for konveks programmering, at stærk dualitet gælder, hvis der eksisterer et punkt , som ligger strengt inden for domænet af gennemførlige løsninger (dvs. alle begrænsninger gælder, men ikke-lineære begrænsninger gælder som strenge uligheder). $x^{*}$ $x^{*}$

Matematisk siger Slater-betingelsen, at stærk dualitet gælder, hvis der eksisterer et punkt (hvor relint angiver det relative indre af en konveks mængde ) sådan, at $x^{*}\in \operatorname {relint} (D)$ $D:=\cap _{i=0}^{m}\operatørnavn {dom} (f_{i})$

f_{i}(x^{*})<0,i=1,\ldots ,m,

(konvekse ikke-lineære begrænsninger)

Ax^{*}=b.\,

[4] .

Generaliserede uligheder

Lad opgaven være givet

Minimer

f_{0}(x)

Med restriktioner

f_{i}(x)\leqslant _{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m

akse=b

hvor funktionen er konveks og er konveks for evt . Så siger Slater-betingelsen, at i tilfældet, når eksisterer , sådan at $f_0$ $f_{i}$ $K_{i}$ $jeg$ $x^{*}\in \operatorname {relint} (D)$

f_{i}(x^{*})<_{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m

Ax^{*}=b

så er der streng dualitet [4] .

Litteratur

Morton Slater. Cowles-kommissionens debatoplæg nr. 403 . - 1950. Genoptrykt i
- Spor og fremkomst af ikke-lineær programmering / Giorgio Giorgi, Tinne Hoff Kjeldsen. — Basel: Birkhäuser, 2014. — s. 293–306. — ISBN 978-3-0348-0438-7 .
Akira Takayama. Matematisk økonomi . - New York: Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-25707-7 .
Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Konveks analyse og ikke-lineær optimering: teori og eksempler. — 2. - Springer, 2006. - ISBN 0-387-29570-4 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Konveks optimering . - Cambridge University Press, 2004. - ISBN 978-0-521-83378-3 .