Transposition (matematik)

I matematik er en transponering en bijektion af et sæt i sig selv, der omarrangerer to elementer i dette sæt.

Formel definition

Lad et endeligt sæt være givet , en transposition på det er en permutation ( en bijektiv funktion fra til ) sådan at der er indekser og sådan , og for alle andre indekser ${\displaystyle X=\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\))$ $x$ $x$ $f$ $jeg$ $j$ ${\displaystyle f(a_{i})=a_{j))$ ${\displaystyle f(a_{j})=a_{i))$ ${\displaystyle f(a_{k})=a_{k))$ $k.$

Transponering er ofte repræsenteret som en cyklus $(a_{i},a_{j}).$

Eksempel

For eksempel, hvis , er funktionen defineret som ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\))$ $\sigma$

{\begin{matrix}\sigma (a)&=&a\\\sigma (b)&=&e\\\sigma (c)&=&c\\\sigma (d)&=&d\\\ sigma (e)&=&b\end{matrix}},

så er denne permutation en transponering.

Egenskaber

Enhver permutation kan repræsenteres som en sammensætning (produkt) af transpositioner.

Tegnet på en permutation kan bestemmes ud fra dekomponeringen af en permutation til et produkt af transpositioner: , hvor er antallet af transpositioner i dekomponeringen. ${\displaystyle \operatørnavn {sgn}(\sigma )=(-1)^{m))$ $m$

Se også

Permutation