Lifshitz teori

Lifshitz-teorien er en generel teori om van der Waals og Casimirs fluktuationskræfter . Hovedresultatet af teorien er formlen for det elektromagnetiske felts frie energi , som gør det muligt at opnå det tryk, der opstår mellem materialeoverflader på grund af virkningen af fluktuationskræfter. I Lifshitzs teori er mediet klassisk , og det elektromagnetiske felt er kvante . Teorien blev udviklet af den sovjetiske fysiker Yevgeny Mikhailovich Lifshitz i 1956.

Lifshitz's formel

Formel for energi ved nul temperatur

Energi som funktion af afstanden mellem to identiske planparallelle plader:

E(a)={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{ 0}^{\infty }d\xi \left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]+ \ln[1-r_{\textrm {TE}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]\right\}

(en)

hvor . Her er projektionen af bølgevektoren af det elektromagnetiske felt på pladens overfladeplan, er den imaginære frekvens, er lysets hastighed , er den reducerede Planck konstant . Materialeegenskaber tages i betragtning gennem refleksionskoefficienterne - og . Refleksionskoefficienterne er givet af Fresnel-formlerne : ${\displaystyle q^{2}=q^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi ^{2}/c^{2))$ ${\displaystyle k_{\perp ))$ $\xi$ $c$ $\hbar$ $r_{\textrm {TE))$ $r_{\textrm {TM}}$

r_{\textrm {TM}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })-k(i \xi ,k_{\perp })}{\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })))),\quad r_ { \textrm {TE}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{ q (i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp ))))),

(2)

hvor . $k^{2}=k^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\epsilon (i\xi )\xi ^{2}/ c^{2}$

Formel for tryk ved nul temperatur

Tryk som funktion af afstanden mellem to identiske planparallelle plader:

P(a)=-{\frac {\hbar }{2\pi ^{2))}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _ {0}^{\infty }d\xi \;q\left\{[r_{\textrm {TM}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1 ]^{-1}+[r_{\textrm {TE}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}\right\}

(3)

Den anvendte notation er beskrevet ovenfor.

Formel for fri energi ved vilkårlig temperatur

Fri energi som funktion af temperatur og afstand mellem to forskellige planparallelle plader:

{\mathcal {F}}(a,T)={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\ !{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^ {(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e ^{-2aq_{l}}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE }}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]\right\}

(fire)

her betegner primtallet ved summens fortegnet multiplikatoren ved nulleddet af serien, indekset 1 og 2 ved refleksionskoefficienterne angiver henholdsvis den første og anden plade, er Boltzmann-konstanten , , og er Matsubara-frekvenserne, som er givet af udtrykket $1/2$ $k_{\mathrm {B} }$ $q_{l}^{2}=q^{2}(i\xi _{l},k_{\perp })=k_{\perp}^{2}+\xi _{l}^ {2}/c^{2}$ $\xi _{l}$

\xi _{l}=2\pi {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}l

(5)

Formel for tryk ved vilkårlig temperatur

Tryk som funktion af temperatur og afstand mellem to forskellige planparallelle plader:

P(a,T)=-{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ } }^{'}\int _{0}^{\infty }q_{l}k_{\perp }dk_{\perp}\left\{\left[{\frac {e^{2aq_{l))} {r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{ l},k_{\perp })}}-1\right]^{-1}+\venstre[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TE}}^{( 1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp }})))) - 1\right]^{-1}\right\}

(6)

Den anvendte notation er beskrevet ovenfor.

Noter

Se også

Litteratur

M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko. Fremskridt i Casimir-effekten. – 2009.