Sigma endeligt mål

Et sigma-finit mål i funktionel analyse er et mål, således at hele rummet kan repræsenteres som en tællig forening af målbare sæt af endelige mål.

Definition

Lad være et mellemrum med mål . Et mål kaldes σ-finit, hvis der eksisterer en tællig familie af målbare mængder , sådan at og $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\mu$ $\{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$ $\mu(A_i) < \infty,\; i\in \mathbb{N}$

X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i

Eksempler

Lebesgue-målet på er σ-endeligt siden $m$ $\mathbb {R}$

\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots

Et tælleligt mål på , det vil sige en, der ikke er σ-endelig, fordi den tællelige forening af ethvert sæt af endelige mål i dette tilfælde vil være tællig, mens hele rummet er utælleligt. $\mu$ $\mathbb {R}$ $\mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R}$

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.