Hilbert program
Hilberts program i matematik blev formuleret af den tyske matematiker David Hilbert i begyndelsen af det 20. århundrede. Hilbert foreslog, at konsistensen af mere komplekse systemer, såsom teorien om funktioner af en reel variabel , kunne bevises i form af enklere systemer. I sidste ende, ifølge hans forslag, kan konsistensen af al matematik reduceres til simpel aritmetik .
Gödels ufuldstændighedssætning viste, at Hilberts program ikke gjaldt de fleste områder af matematikken.
De vigtigste udsagn i Hilberts program
Hovedmålet med Hilberts program var at give et solidt grundlag for al matematik. Dette bør især omfatte:
- Formuleringen af al matematik ; med andre ord skal alle matematiske udsagn skrives i et præcist formelt sprog og styres efter veldefinerede regler.
- Fuldstændighed : Et bevis på, at alle sande matematiske udsagn kan bevises formelt.
- Konsistens : Et bevis på, at der ikke kan opnås nogen modsigelse i matematikkens formalisme. Dette konsistensbevis skal helst kun bruge "endelige" ræsonnementer om endelige matematiske objekter.
- Konservering : at bevise, at ethvert resultat om "rigtige objekter" opnået ved at ræsonnere om "ideelle objekter" (såsom utallige mængder) kan bevises uden at bruge ideelle objekter.
- Algoritmisk afgørelighed : Der er en algoritme til at bestemme sandheden eller falskheden af enhver matematisk udsagn.
Se også
Litteratur
- G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493-565. Oversat som 'Aritmetikkens konsistens', i The collected papers of Gerhard Gentzen , ME Szabo (red.), 1969.
- D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische Annalen 104:485-94. Oversat af W. Ewald som 'The Grounding of Elementary Number Theory', s. 266-273 i Mancosu (red., 1998) Fra Brouwer til Hilbert: Debatten om matematikkens grundlag i 1920'erne , Oxford University Press. new york.
- S.G. Simpson, 1988. Delvis realisering af Hilberts program . Journal of Symbolic Logic 53:349-363.
- R. Zach , 2006. Hilberts program dengang og nu. Philosophy of Logic 5:411-447, arXiv: math/0508572 [math.LO].