Forhøjet cosinus (filter)

Hævet cosinusfilter (PCF) er et specielt elektronisk filter, der ofte findes i telekommunikationssystemer på grund af dets evne til at minimere intersymbol-forvrængning (ISI). Dens navn kommer af, at den ikke-nul del af frekvensspektret i sin simpleste form ( ) er en cosinusbølge hævet, så den "sidder" på den vandrette akse . $\beta=1$ $f$

Matematisk beskrivelse

FPC er en implementering af Nyquist LPF , det vil sige, at den har egenskaben af delvis symmetri. Det betyder, at dets spektrum har en ulige symmetri i forhold til , hvor er symbolvarigheden i kommunikationssystemet. ${\frac {1}{2T}}$ $T$

For at beskrive det i frekvensdomænet, bruges en stykkevis funktion givet af formlen:

H(f)={\begin{cases}1.0,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[ 1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right], &{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{ellers}}\end{cases} }

0\leq \beta \leq 1

og er karakteriseret ved to værdier; er udjævningskoefficienten og er den reciproke af symbolhastigheden. $\beta$ $T$

Impulsresponsen af filteret er beskrevet med formlen:

h(t)=\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T))\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T }}\right)}{1-{\frac {4\beta ^{2}t^{2}}{T^{2}}}}}

, udtrykt i form af normaliserede sinc-funktioner.

Udjævningsfaktor

Udglatningsfaktoren er et mål for passbåndsredundansen for et filter, dvs. frekvensbåndet uden for Nyquist-båndet . Hvis vi angiver båndredundansen med , så: $\beta$ ${\frac {1}{2T}}$ $\Delta f$

\beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)))={\frac {\Delta f}{R_{S}/2} }=2T\Delta f

hvor er symbolhastigheden. $R_{S}={\frac {1}{T}}$

Grafen viser frekvensresponsen ved skift fra 0 til 1, og den tilsvarende effekt på impulsresponsen. Som det kan ses, i tidsdomænet, stiger mængden af krusning som . Dette indikerer, at filterbåndsredundansen kan reduceres, men kun ved at forlænge impulsresponsen. $\beta$ $\beta$

\beta =0

Så snart den når 0, bliver udjævningszonen så smal som muligt, derfor: $\beta$

\lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\mathrm {rect} (fT)

hvor er en rektangulær funktion, konverteres impulssvaret til . $\mathrm {ret} (.)$ $\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T))\right)$

Derfor tenderer det mod et perfekt eller rektangulært filter i dette tilfælde.

\beta=1

Når , den ikke-nul del af spektret er en ren hævet cosinus, hvilket fører til en forenkling: $\beta=1$

H(f)|_{\beta =1}=\venstre\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\ højre)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{ellers}}\end{matrix}}\right.

Båndbredde

FPC-båndbredden er normalt defineret som bredden af den ikke-nul del af spektret, dvs.

BW=R_{S}(1+\beta )

Ansøgninger

Når det bruges til at filtrere en tegnstrøm, har Nyquist-filteret en ISI-elimineringsegenskab, da dets impulsrespons er 0 i alt (hvor er et heltal) undtagen . $nT$ $n$ $n=0$

Således, hvis det transmitterede signal er korrekt samplet ved modtageren, kan de originale symbolværdier gendannes fuldstændigt.

Men i de fleste praktiske kommunikationssystemer skal der bruges et matchet filter i modtageren på grund af virkningerne af hvid støj. Dette indfører følgende begrænsninger:

H_{R}(f)=H_{T}^{*}(f)

det er:

|H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}

For at opfylde denne betingelse, og samtidig med at no-ISI-tilstanden opretholdes, anvendes roden af FPC normalt i hver ende af kommunikationssystemet. I et sådant tilfælde er systemets overordnede respons en forhøjet cosinus.

Litteratur