Flow (geometrisk målteori)

Et flow er en generalisering af begrebet en undermanifold , der spiller en nøglerolle i geometrisk måleteori . Især bruges flows normalt til at bevise eksistensen af minimale overflader med singulariteter.

Flow er defineret som generaliserede funktioner - et flow er en lineær funktionel på rummet af differentielle former .

Definition

Betegnes med rummet af glatte former med kompakt støtte på en glat manifold . Et flow er defineret som en lineær funktionel på en kontinuert i betydningen fordelinger . Det vil sige den lineære funktionelle $\Omega _{c}^{m}(M)$ $m$ $M$ $\Omega _{c}^{m}(M)$

T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}

er et -flow, hvis for enhver sekvens af glatte former, hvis forskydningsbærere ligger i ét kompakt sæt, konvergerende til nulformen i vi har $m$ $\omega_{k}$ $C^\infty$

T(\omega _{k})\til 0

Noter

Det dimensionelle rum flyder ind i dette virkelige vektorrum . ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ $m$ $M$

Mange egenskaber ved generiske funktioner overføres til strømme. For eksempel kan man definere en strømbærer som komplementet til et maksimalt åbent sæt , således at $T$ $U\subset M$ $T(\omega )=0$ for enhver form . $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$
- Rummet af dimensionelle strømme med kompakt støtte er normalt betegnet med . $m$ ${\mathcal {E}}_{m}(M)$

Strømningsrummet er naturligt udstyret med en svag topologi. $T_{k}\to T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,$

Normer

Det er muligt at definere flere normer på et underrum af alle strømningers rum. En af disse normer er masse .

\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},

hvor er -normen om formrummet. $|\vert \omega (x)\vert |$ $L^{\infty }$

Massen af et flow er en naturlig generalisering af volumenet af en undermanifold.

Flad norm, defineret som

\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A)\colon A\in {\mathcal {E)) _{m+1}\}.

Litteratur

Federer G. Geometrisk målteori. - 1987. - 760 s.