Kleins paradoks i grafen

Kleins paradoks i grafen er passagen af eventuelle potentielle barrierer uden tilbagespredning i en ret vinkel. Effekten skyldes, at spektret af strømbærere i grafen er lineært, og kvasipartiklerne overholder Dirac-ligningen for grafen. Effekten blev teoretisk forudsagt i 2006 [1] for en rektangulær barriere.

Teori

Kvasipartikler i grafen er beskrevet af en todimensionel Hamiltonian for masseløse Dirac-partikler

{\hat {H}}=-i\hbar v_{F}\sigma \cdot \nabla ,

hvor er Planck-konstanten divideret med 2 π, er Fermi-hastigheden, er vektoren tilbage fra Pauli-matricerne , er nabla- operatoren . Lad der være en potentiel barriere med højde og bredde , og lad energien fra indfaldende partikler være . Derefter, fra løsningen af Dirac-ligningen for regionerne til venstre for barrieren (indeks I), i selve barrieren (II) og til højre for barrieren (III), vil de blive skrevet i form af plan bølger som for frie partikler : $\hbar$ $v_{F}$ $\sigma =(\sigma _{x},\sigma _{y})$ $\nabla =(\nabla _{x},\nabla _{y})$ $V_{0}$ $D$ $E$

\psi _{I}({\mathbf {r}})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }} \end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {r}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1 \\se^{{i(\pi -\phi )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-k_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{II}}({\mathbf {r}})={\frac {a}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{{i \theta }}\end{pmatrix}}e^{{i(q_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {b}{{\sqrt {2}}}}{\begin {pmatrix}1\\s'e^{{i(\pi -\theta )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-q_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{III}}({\mathbf {r}})={\frac {t}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }}\end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}},

hvor følgende betegnelser accepteres for vinklerne , , og bølgevektorerne i I- og III-regionen , , og i den II-te region under barrieren , tegn på følgende udtryk og . De ukendte koefficienter , amplituderne af henholdsvis de reflekterede og transmitterede bølger, findes ud fra kontinuiteten af bølgefunktionen ved de potentielle grænser. $\phi =\arctan {(k_{y}/k_{x})}$ $\theta =\arctan {(k_{y}/q_{x})}$ $k_{x}=k_{F}\cos {\phi }$ $k_{y}=k_{F}\sin {\phi }$ $q_{x}={\sqrt {(V_{0}-E)^{2}/\hbar ^{2}v_{F}^{2}-k_{y}^{2}}}$ $s={\mathrm {tegn}}(E)$ $s'={\mathrm {tegn}}(E-V_{0})$ $r$ $t$

For transmissionskoefficienten som funktion af partiklens indfaldsvinkel blev følgende udtryk opnået [2]

T(\phi )={\frac {\cos ^{2}{\theta }\cos ^{2}{\phi }}{[\cos {(Dq_{x})}\cos {\phi }\ cos {\theta }]^{2}+\sin ^{2}{(Dq_{x})[1-ss^{{'}}\sin {\phi }\sin {\theta }]^{2 }}}}.

Figuren til højre viser, hvordan transmissionskoefficienten ændrer sig afhængigt af barrierens bredde. Det er vist, at den maksimale gennemsigtighed af barrieren altid observeres ved nul vinkel, og resonanser er mulige i nogle vinkler.

Noter

↑ Katsnelson M.I. , et. al. "Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene" Nature Physics 2 , 620 (2006) doi : 10.1038/nphys384 Preprint Arkiveret 12. juli 2015 på Wayback Machine
↑ Castro Neto AH cond-mat Arkiveret 12. juli 2015 på Wayback Machine