Generaliseret energiintegral

Det generaliserede energiintegral er integralet af Lagrange-ligningerne i et holonomisk mekanisk system i tilfælde af en tidsuafhængig Lagrange-funktion . Også kaldet Jacobi-integralet. Den eksisterer altid, hvis kræfterne er potentielle, og Lagrange-funktionen ikke eksplicit afhænger af tid [1] .

Ordlyd

Lagrange-ligninger for et holonomisk mekanisk system med en tidsuafhængig Lagrange-funktion

${\frac {d}{dt}}\venstre({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m))))=0$

har et generaliseret energiintegral [2] :

$h=\sum _{{m=1}}^{{s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m}}}}{\dot {q} }_{{m}}-L$

Konklusion

Overvej et holonomisk system med frihedsgrader med Lagrange-funktionen $s$

$L=L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$ ,

afhængig af generaliserede koordinater , generaliserede hastigheder og tid , her og under overalt . ${\displaystyle q_{m))$ ${\dot {q}}_{m}$ $t$ $m=1,2,...,s$

Differentiering af funktionen med hensyn til tid , får vi $L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t))$ .

Fra Lagrange-ligningerne

${\frac {d}{dt}}\venstre({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m))))=0$

følger det

${\frac {\partial L}{\partial q_{m))}={\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{m}}}\right)$ .

Så får vi:

${\frac {\partial L}{\partial q_{m))}{\dot {q))_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)) _{m))}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\venstre({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_ {m}}}\right){\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q} }_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}} _{m}\right)$ .

Ved at bruge dette har vi:

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}$

Eller:

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m} )){\dot {q))_{m}-L\right)+{\frac {\partial L}{\partial t))=0$ .

Hvis Lagrange-funktionen eksplicit er uafhængig af tid, så ${\frac {\partial L}{\partial t))=0$ ${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m} }}{\dot {q}}_{m}-L\right)=0$

Derfor:

$\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m} -L=h$

Dette udtryk kaldes det generaliserede energiintegral eller Jacobi-integralet [2] .

Noter

↑ Butenin, 1971 , s. 102.
↑ 1 2 Butenin, 1971 , s. 101.

Litteratur

Butenin N.V. Introduktion til analytisk mekanik. - M. : Nauka, 1971. - 264 s.