Tikhonov regulariseringsmetode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Tikhonovs regulariseringsmetode er en algoritme, der gør det muligt at finde en omtrentlig løsning på dårligt stillede operatørproblemer af formen . Det blev udviklet af A.N. Tikhonov i 1965 [1] . Hovedideen er at finde en omtrentlig løsning af ligningen på formen , hvor er den regulariserende operator. Han skal sikre, at når man nærmer sig den nøjagtige værdi af , vil den omtrentlige løsning være tilbøjelig til den ønskede nøjagtige løsning af ligningen . [2] $akse=u$ $Ax=u$ $x_{\delta }=R(u_{\delta},\alpha )$ $R(u_{\delta},\alpha )$ $u_{\delta }$ $u_{T}$ $\delta \to 0$ ${\displaystyle x_{\delta ))$ $x_{T}$ $Ax_{T}=u_{T}$

Reguleringsoperatør

En operator afhængig af parameteren kaldes en regulariserende operator for ligningen, hvis den har følgende egenskaber: $R(u,\alfa)$ $\alfa$ $Ax=u$

Defineret for alle og enhver . $\alfa >0$ $u\i U$
Hvis , Så eksisterer der sådan , at der for enhver er sådan , at hvis , så , hvor , , er en metrik i rummet (det vil sige afstanden mellem vektorerne og ), og er en metrisk i rummet . $Ax_{T}=u_{T}$ $\alfa (\delta)$ $\varepsilon >0$ $\delta (\varepsilon )$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta})\leqslant \delta (\varepsilon )$ $\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$ $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$ $\alpha =\alpha (\delta)$ $\rho _{U}$ $U$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$ $u_{T}$ $u_{\delta }$ $\rho _{F}$ $x$

Metode til at konstruere regulariserende operatorer

For en bred klasse af ligninger viste A. N. Tikhonov, at løsningen af problemet med at minimere det funktionelle kan betragtes som et resultat af at anvende en regulariserende operator, der afhænger af parameteren . Funktionen kaldes en opgavestabilisator . $akse=u$ $x_{{\alpha }}$ $M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta})+\alpha \Omega \left[ x\right]$ $\alfa$ $x_{{\alpha }}=R_{{1}}(u_{{\delta }},\alpha )$ $\Omega \venstre[x\højre]$ $akse=u$

Applikationseksempel

Lad os finde en normal (tættest på oprindelsen) løsning af systemet af lineære ligninger med en nøjagtighed svarende til nøjagtigheden af at indstille matrix- og søjleelementerne i det tilfælde, hvor værdierne af matrixelementerne og kolonnen med frie led gives kun ca. $x$ $AX=B$ $EN$ $B$ $EN$ $B$

Udtalelse af problemet

Overvej et system af lineære ligninger i matrixform: . Lad os kalde sfæriske normer for mængde . Lad os betegne som kendte omtrentlige værdier af elementerne i matrixen og kolonnen . En matrix og en kolonne vil blive kaldt en -tilnærmelse af en matrix og en kolonne, hvis ulighederne er opfyldt . Lad os introducere det funktionelle . Tikhonovs teorem reducerer spørgsmålet om at finde den omtrentlige normale løsning af et ligningssystem til at finde det element , hvorpå denne funktionelle når sin minimumsværdi. $AX=B$ $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{ j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^ {n}a_{ij}^{2}}}$ ${\tilde {A)],{\tilde {B))$ $EN$ $B$ ${\tilde {A}}$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $EN$ $B$ $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ $F(X,{\tilde {A)),{\tilde {B)))=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\ alfa \|X\|^{2}$ $AX=B$ ${\displaystyle X^{\alpha ))$

Tikhonovs teorem

Lad matricen og søjlen opfylde de betingelser, der sikrer systemets kompatibilitet , er en normal løsning af dette system, er en -tilnærmelse af matrixen , er en -tilnærmelse af søjlen , og er eventuelle stigende funktioner, der har tendens til nul ved og sådan at . Så for enhver er der et positivt tal , således at for enhver og for enhver , der opfylder betingelsen , det element, der giver minimum til det funktionelle, opfylder uligheden [3] [4] . $EN$ $B$ $AX=B$ $X^{{0}}$ ${\tilde {A}}$ $\delta$ $EN$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $B$ $\varepsilon \left(\delta \right)$ $\alpha \left(\delta \right)$ $\delta$ $\delta \rightarrow +0$ $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$ $\varepsilon >0$ $\delta _{{0}}$ $\delta<\delta_{{0}}$ $\alfa$ ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)))\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ $X^{{\alpha ))$ ${\displaystyle F\left(X,{\tilde {A)),{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|} ^{2}+\alpha {\|X\|}^{2))$ $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$

Noter

↑ Tikhonov A. N. Om dårligt stillede problemer med lineær algebra og en stabil metode til deres løsning // DAN SSSR, 1965, v. 163, nr. 3, s. 591-594.
↑ Arsenin, 1974 , s. 264.
↑ Lineær algebra, 2004 , s. 100.
↑ Metoder til løsning af dårligt stillede problemer, 1979 , s. 119.

Litteratur

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Lineær algebra. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 s. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Metoder til løsning af dårligt stillede problemer. - M. : Nauka, 1979. - 283 s.
Arsenin V. Ya. Metoder til matematisk fysik og specielle funktioner. — M .: Nauka, 1974. — 430 s.