Sylvester matrix

Sylvester -matricen er en matrix, der giver dig mulighed for at beregne resultatet af to polynomier . Introduceret af den engelske matematiker James Sylvester .

Definition

Lad polynomier være givet

A(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n} x^{n}

B(x)=\sum _{{i=0}}^{{m}}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m} x^{m}

Så vil Sylvester-matricen for disse polynomier være en kvadratisk matrix af formen $(n+m)\ gange (n+m)$

S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &\cdots &a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{ n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1 }&\cdots &\cdots &b_{0}&0&\cdots &\cdots &\\cdots &0\\0&b_{m}&\cdots &\cdots &b_{1}&b_{0}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&b_{m}&\cdots &b_{1}&b_{0} \end{pmatrix }}

Antallet af matrixrækker, der indeholder polynomiets koefficienter er , og antallet af polynomiet er . Resultatanten af polynomierne findes som determinanten for denne matrix : $økse)$ $m$ $b(x)$ $n$