Newtons interpolationsformler

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. september 2019; checks kræver 7 redigeringer .

Newtons interpolationsformler er beregningsmatematiske formler, der bruges til polynomiel interpolation .

Formler

Lad nogle parvise adskilte punkter blive givet , også kaldet interpolationsnoder, og værdierne af nogle funktioner i disse punkter er kendte. ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n))$ $f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots ,\,f(x_{n})$ $f$

Tilfældet med ulige noder

Hvis alle afstande mellem naboknuder er forskellige, så er Newtons polynomium konstrueret efter formlen [1]

P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x -x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_ {0};\ldots ;x_{n}),

hvor er den opdelte rækkefølge forskel . $f(x_{0};\ldots ;x_{n})$ $n$

Ved at bruge egenskaberne for den opdelte forskel kan det vises, at ovenstående polynomium faktisk løser interpolationsproblemet : [2]

Lade være Lagrange- interpolationspolynomiet for punkterne . Så . $L_{k}(x)$ ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{k))$ $L_{n}(x)=L_{0}(x)+(L_{1}(x)-L_{0}(x))+\ldots +(L_{n}(x)-L_ {n-1}(x))$

Overvej : $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)$

$L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=\sum _{i=0}^{k}f(x_{i})*\prod _{j=0,j \neq i}^{k}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j))}}-\sum _{i=0}^{k-1} f(x_{i})*\prod _{j=0,j\neq i}^{k-1}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j })}}=$

$=\sum _{i=0}^{k-1}f(x_{i})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots (x-x_{i-1} )*(x-x_{i+1})\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{i}-x_{0})*\ldots *(x_{i}-x_{ i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*\ldots *(x_{i}-x_{k-1})}}*({\frac {x-x_{k} }{x_{i}-x_{k}}}-1)+$

$+f(x_{k})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{k}-x_{0} )*\ldots *(x_{k}-x_{k-1})}}$ .

På den anden side er forskellen mellem to Lagrange-interpolationspolynomier et polynomium af grad , og dets rødder er kendt - . $k-1$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{k-1))$

Ifølge Bezouts sætning får vi :. $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=a*(x-x_{0})*...*(x-x_{k-1})$

Vi finder : lad $-en$ ${\displaystyle x=x_{k))$

$a=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f(x_{i})}{(x_{i}-x_{0})*...*(x_{i) }-x_{i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*...*(x_{i}-x_{k})}}=f(x_{0};x_ {1};...;x_{k})$

Efter at have erstattet resultatet med , får vi . $L_n(x)$ $P_n(x)$

Det er således vist, at Newton-polynomiet i tilfælde af ulige fordelte noder falder sammen med Lagrange-interpolationspolynomiet, og derfor løser interpolationsproblemet.

Tilfældet med ækvidistante noder

Hvis naboknudepunkter er i en bestemt afstand fra hinanden , det vil sige , så kan Newtons polynomium bygges enten ud fra (i dette tilfælde taler de om "fremad interpolation") eller fra ("bagud interpolation"). $h$ $x_{i}=x_{0}+ih$ $i=0,\ldots ,n$ $x_{0}$ $x_{n}$

I det første tilfælde har formlen for Newton-polynomiet formen [3]

P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0} +\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

hvor og udtryk for formen er endelige forskelle . $q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})$ $\Delta ^{k}y_{0}$

I det andet tilfælde har formlen formen [4]

P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{ n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

hvor . $q=(x-x_{n})/h$

For , formlen $h=1$

P_{n}(x)=\sum _{{m=0}}^{{n}}C_{x}^{m}\sum _{{k=0}}^{m}(-1) ^{{mk}}\,C_{m}^{k}\,f(k)

hvor er de binomiale koefficienter generaliseret til domænet af reelle tal . $C_{x}^{m}$

Resten

Newtonpolynomiet er en af formerne af Lagrangepolynomiet , så de resterende led i disse formler er de samme [5] . Imidlertid kan resten af Newtons formel skrives i en anden form: $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$