Pladebøjning

Bøjningen af plader i elasticitetsteorien refererer til beregningen af deformationer i plader (i det generelle tilfælde af vilkårlig tykkelse, men lille i sammenligning med de langsgående dimensioner), under påvirkning af eksterne kræfter og momenter vinkelret på planet af plade. Afvigelsesværdien kan bestemmes ved at løse differentialligningerne for den tilsvarende pladeteori afhængigt af antagelserne for små parametre. Disse afbøjninger kan bruges til at beregne spændingernei tallerkenen. For kendte spændinger kan brudteori bruges til at bestemme, om pladens integritet er kompromitteret under en given belastning. Deformationen af en plade er en funktion af to koordinater, så teorien om plader er generelt formuleret i form af differentialligninger i todimensionelt rum. Det antages også, at pladen oprindeligt (i ubelastet tilstand) har en flad form.

Pladebøjning i Kirchhoff-Kærlighedsteorien

Definitioner

For en tynd rektangulær plade med tykkelse , Youngs modul og Poissons forhold , kan de elastiske parametre bestemmes ud fra pladeafbøjningen . $H$ $E$ $\nu$ $w$

I det kartesiske koordinatsystem bestemmes bøjningsstivheden af

D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)))

Øjeblikke

Bøjningsmomenter pr. længdeenhed er givet ved [1]

M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+\nu {\frac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\right),

M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\right).

Drejningsmomentet pr. længdeenhed bestemmes

M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y)).

Tvinger

Forskydningskræfter pr. længdeenhed bestemmes af udtrykket [2]

Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right),

Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y))\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right).

Spændinger

Bøjningsspændingskomponenterne bestemmes af udtrykket

\sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\venstre({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}} +\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}\right),

\sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}\right).

Forskydningsspændingen er indstillet

\tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}.

Deformationer

Bøjningstøjninger i teorien for små afvigelser er bestemt af

\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}},

\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}.

Forskydningstøjningerne i teorien for små afvigelser er givet ved

\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y))+{\frac {\partial v}{\partial x))=-2z{\frac {\partial ^{ 2}w}{\partial x\partial y)).

I teorien, for store pladeafbøjninger, betragtes membrandeformationer i formen

\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {1}{2))\left({\frac {\partial w}{\partial x }}\right)^{2},

\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y))+{\frac {1}{2))\left({\frac {\partial w}{\partial y }}\right)^{2},

\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y))+{\frac {\partial v}{\partial x))+{\frac {\partial w}{\ delvis x)){\frac {\partial w}{\partial y)).

Afbøjninger

Disse afbøjninger bestemmes

u=-z{\frac {\partial w}{\partial x)),

v=-z{\frac {\partial w}{\partial y)).

Konklusion

I teorien om Kirchhoff-Kærlighedsplader består systemet til at definere ligninger af [3]

N_{\alpha \beta ,\alpha }=0

M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0.

Eller i udvidet (koordinat) form

{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~ {\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0,

{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\ partial x_{1}\partial x_{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22)){\partial x_{2}^{2))}=q.

hvor den påførte tværbelastning pr. arealenhed, og tykkelsen af pladen er , spænding , og $q(x)$ $H=2t$ $\sigma_{ij}$

N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:= \int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.

Mængden har dimensionen af en kraftenhed pr. længdeenhed. Mængden har momentenheden pr. længdeenhed. $N$ $M$

For isotrope, homogene plader med Youngs modul og Poissons forhold reduceres disse ligninger til [4] $E$ $\nu$

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1 -\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}

hvor er afbøjningen af pladens midterflade. $w(x_{1},x_{2})$

Små afbøjninger af tynde rektangulære plader

Små afbøjninger af tynde rektangulære plader er beskrevet af Germain-Lagrange tyndpladeligningen

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2))}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4))}={\cfrac {q}{D)).

Denne ligning blev først udledt af Lagrange i december 1811, som rettede en rapport af Sophie Germain .

Stor afbøjning af tynde rektangulære plader

En stor afbøjning af tynde rektangulære plader er beskrevet af ligningerne for Feppl-von Karman pladen

{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\venstre[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{ \partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\right],

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D} }\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2))}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{ \cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2))}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}-2{\cfrac {\ delvis ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right),

hvor er spændingsfunktionen. $F$

Kirchhoff-Love runde tallerkener

Bøjningen af cirkulære plader kan studeres ved at løse den grundlæggende ligning med passende randbetingelser. Disse løsninger blev først fundet af Poisson i 1829. Cylindriske koordinater er praktiske til sådanne problemer. z er punktets afstand fra pladens midterplan.

Hovedligningen i koordinatløs form har formen

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D))\,.

I cylindriske koordinater , $(r,\theta ,z)$

\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r))\right)+{\frac {1}{r^{2))}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2))}+{\frac {\ delvis ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.

For symmetrisk belastede runde plader, hvor bøjningen kun afhænger af radius, får vi $w=w(r)$

\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\ ,.

Derfor vil hovedligningen have form af en almindelig differentialligning [5]

{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\venstre[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r} }{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.

Hvis og er konstante, så har direkte integration af hovedligningen en løsning $q$ $D$

w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+ {\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}

hvor er integrationskonstanterne. Hældningen af den afbøjelige overflade er $C_{i}$

\phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+ C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.

For en rund plade indebærer kravet om, at nedbøjningen skal være begrænset og afbøjningsstejlheden ved , at . Er dog ikke nødvendigvis lig med 0, da den rigtige grænse eksisterer, når man nærmer sig oprindelsen . $r=0$ $C_{1}=0$ $C_{3}$ $r\ln r\,$ $r=0$

Faste kanter

Til en rund indsats (radius a ) med fastspændte kanter og på kanten af indsatsen. Ved at erstatte disse grænsebetingelser i den generelle løsning får vi [6] $w(a)=0$ $\phi (a)=0$

w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi ( r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.

Pladens forskydninger i planet er

u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and))\quad u_{\theta}(r)=0\,.

Planstammerne i pladen er

\varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~, ~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2}) ~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.

Spændingerne i pladens plan er

\sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2))}\venstre[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right ]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2))}\venstre[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _ {rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.

Til pladetykkelse , bøjningsstivhed og $2t$ $D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]$

{\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3))}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+ \nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3))}\venstre[(1+\nu )a^ {2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}

De resulterende momenter (bøjningsmomenter) er

M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~; ~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right ]~;~~M_{r\theta }=0\,.

Maksimal radial spænding ved og : $z=h$ $r=a$

\left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa ^{2}}{4H^{2}}}

hvor . Bøjningsmomenterne ved grænsen og i midten af pladen er [7] $H:=2t$

\left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right |_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{ \theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.

En cirkulær plade belastet med en radiusafhængig kraft

[otte]

Rektangulære Kirchhoff-Love plader

For rektangulære plader introducerede Navier en simpel metode i 1820 til at bestemme forskydningen og spændingen, når pladen hviler på kanterne. Ideen var at udtrykke den påførte belastning i form af komponenter i Fourier-serien, finde en løsning for en sinusformet belastning (en Fourier-harmonisk), og derefter tilføje Fourier-harmonikken for at få en løsning for en vilkårlig belastning.

Sinusformet belastning

Lad os antage, at belastningen har formen [9]

q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a))\sin {\frac {\pi y}{b))\,.

Her amplitude, pladebredde i retning og pladebredde i retning . $q_{0}$ $-en$ $x$ $b$ $y$

Da pladen blot understøttes ved kanterne, er forskydningen ved pladens kanter nul, og bøjningsmomentet er også nul ved grænserne og , nul ved grænserne og . $w(x,y)$ ${\displaystyle M_{xx))$ $x=0$ $x=a$ ${\displaystyle M_{åå))$ $y=0$ $y=b$

Under disse grænsebetingelser og løsningen af ligningen for pladen har formen [10]

w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{ \frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b} }\,.

Hvor D er bøjningsstivheden

D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2}})}}.

Analog med bøjningsstivhed EI. [11] Spændingerne og tøjningerne i pladen kan beregnes, hvis forskydningen er kendt.

Med en total belastning i formen

q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

hvor og er heltal, får vi løsningen [12] $m$ $n$

{\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\ pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.

Naviers beslutning

Ligningen for den todimensionelle trigonometriske serie

Vi definerer den samlede belastning i formen [12] $q(x,y)$

q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty}a_{mn}\sin {\frac {m\pi x }{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

hvor Fourier-koefficienten defineret af formlen [13] $a_{mn}$

a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac { m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y

Den klassiske ligning for en rektangulær plade for små afbøjninger har således følgende form:

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{ \infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

En løst understøttet plade med en total belastning

Vi antager en løsning af formen $w(x,y)$

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x }{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

De partielle forskelle af denne funktion er givet af udtrykkene

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\ infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}.

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2))}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{ n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^ {2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b)),

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\ infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}.

Ved at indsætte disse udtryk i ligningen for pladen får vi

\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right) ^{2}+\venstre({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{ a))\sin {\frac {n\pi y}{b))=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_ {mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

Ved at sætte lighedstegn mellem de to serier får vi for koefficienterne

\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2 }\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}

eller efter permutation får vi

w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^ {2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}

Udbøjningen af en frit understøttet plade (i hjørnerne) under den samlede belastning er givet ved udtrykket [13]

w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty}\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2} }}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

En løst understøttet plade med konstant belastning

For en ensartet fordelt belastning har vi

{\displaystyle q(x,y)=q_{0))

Således er den tilsvarende Fourier-koefficient givet ved

a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\ pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y

Beregning af dobbeltintegralet har vi

a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )

eller i en anden form for en stykkevis funktion

a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{ulige }}\\0&m~{\text{eller}}~n~{\text{lige}}\end{caser}}

Udbøjningen af en frit understøttet plade (med forhold på hjørnerne) med en ensartet fordelt belastning er givet ved

w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty } \sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}} +{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}

Bøjningsmomenterne pr. længdeenhed i pladen er givet ved

M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _ {n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{ 2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{ 2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _ {n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{ 2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{ 2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

Levys løsning

En anden tilgang blev foreslået af Levy [14] i 1899. I dette tilfælde starter vi med en antaget forskydningsform og forsøger at justere parametrene, så den styrende ligning og randbetingelser er opfyldt. Målet er at finde løsninger på hovedligningen , så de opfylder grænsebetingelserne for og . $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D$ $Y_{m}(y)$ $y=0$ $y=b$

Antag, at [15]

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty}Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a))\,.

For en plade, der frit understøttes af sine kanter ved og , er grænsebetingelserne: og . Bemærk, at der ikke er nogen forskydningsændringer ved disse kanter, hvilket betyder og , hvilket reducerer den øjeblikkelige grænsebetingelse til det ækvivalente udtryk . $x=0$ $x=a$ $w=0$ $M_{xx}=0$ $\partial w/\partial y=0$ $\partial ^{2}w/\partial y^{2}=0$ $\partial ^{2}w/\partial x^{2}=0$

Øjeblikke ved kanterne

Overvej tilfældet med en ren momentbelastning. I dette tilfælde skal funktionen også opfylde ligningen . c I rektangulære kartesiske koordinater er grundligningen udtrykt som $q=0$ $w(x,y)$ $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.

Vi erstatter udtrykket for i hovedligningen, hvilket fører til [16] $w(x,y)$

\sum _{m=1}^{\infty}\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\venstre({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy ^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac { m\pi x}{a}}\right]=0

eller

{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}} }{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{ m}=0\,.

Dette er en almindelig differentialligning med en generel løsning [17]

Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a))+B_{m}{\frac {m\pi y}{a))\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}

hvor er konstanter, der kan bestemmes ud fra randbetingelserne. Derfor har bøjningsløsningen formen ${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m))$

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a} }\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\venstre(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.

Lad os vælge et koordinatsystem, så pladegrænserne er i kanterne ved og , ved . Så er grænsebetingelserne for momenterne kl $x=0$ $x=a$ $y=\pm b/2$ $y=\pm b/2$

w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1 }(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2} (x)

hvor er kendte funktioner. Løsningen kan findes ved hjælp af disse randbetingelser. Det kan vises, at for det symmetriske tilfælde, når $f_{1}(x),f_{2}(x)$

{\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2))

f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a} }

vi får [18]

w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{ m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \ alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\ ret)

hvor

\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.

Tilsvarende for det antisymmetriske tilfælde, når

{\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2))

vi får [19]

w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{ m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \ alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\ ret)\,.

Ved hjælp af symmetriske og antisymmetriske løsninger kan man sammensætte mere generelle løsninger.

Understøttet plade med ensartet fordelt belastning

Til ensartet fordelt belastning

{\displaystyle q(x,y)=q_{0))

Afvigelsen af den understøttede plade centreret ved med en ensartet fordelt belastning bestemmes af udtrykket [20] $\left({\frac {a}{2)),0\right)$

{\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...} ^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a))+B_{m}{\frac {m\pi y}{a))\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{hvor} }\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\ cosh \alpha _{m))}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m))}\\&G_{m} ={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end {aligned}}\end{aligned}}

Bøjningsmomenterne pr. længdeenhed i pladen er givet ved

M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2} \left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a))+\left( \nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin { \frac {m\pi x}{a}}

M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2} \left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a))+\left(1-\ nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\ frac {m\pi x}{a}}

Ensartet og symmetrisk momentbelastning

I det særlige tilfælde, hvor belastningen er symmetrisk, og momentet er ensartet, kl . $y=\pm b/2$

M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{ 2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.

Den resulterende bøjning er

{\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{ \infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m))}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a))\ gange \\&~~\venstre[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a))-{\frac {(2m -1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}

hvor

\alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a))\,.

Bøjningsmomenter og forskydningskræfter svarende til forskydningen findes ved formlerne $w$

{\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{ m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m))}\,\ gange \\&~\sin {\frac {(2m-1) \pi x}{a}}\,\ gange \\&~\venstre[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m} \tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m =1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m))}\,\gange \\&~\cos {\frac {(2m-1)\ pi x}{a}}\,\ gange \\&~\venstre[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y} {a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1 )\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{ \partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=  1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m))}\,\ gange \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a} }\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}

Spænding

\sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\ frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.

Bøjning af en cylindrisk plade

Cylindrisk bøjning opstår, når en rektangulær plade med dimensioner , hvor og lille tykkelse , udsættes for en ensartet fordelt belastning vinkelret på pladens plan. En sådan plade har form som en cylinderflade. $a\time b\times h$ $a\ll b$ $h$

Ved hjælp af Navier og Levy metoderne er det også muligt at finde løsninger på frit understøttede plader i cylindrisk bukning med forskelligt antal løse kanter [21] .

Bøjning af Mindlins tykke plader

For tykke plader er det nødvendigt at tage højde for virkningen af forskydningsspændinger langs tykkelsen på orienteringen af normalen til den gennemsnitlige overflade efter deformation. Mindlins teori tilbyder en samlet tilgang til at finde belastning og stress i sådanne plader. Mindlins teoriløsninger kan fås fra de tilsvarende Kirchhoff-Love-løsninger ved hjælp af kanoniske relationer [22] .

Grundlæggende ligninger

De kanoniske ligninger for isotrope tykke plader kan skrives som [22]

{\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right) =-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\venstre({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_ {2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{ 1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}

hvor påført forskydningsbelastning, forskydningsmodul, bøjningsstivhed, pladetykkelse, forskydningsspændingskorrektionsfaktor , Youngs modul, Poissons forhold og $q$ $G$ $D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]$ $h$ $c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]$ $\kappa$ $E$ $\nu$

{\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\ frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac { 2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.

Ifølge Mindlins teori , den tværgående forskydning af den gennemsnitlige overflade af pladen, og størrelserne og de tilsvarende rotationer af normalen til den gennemsnitlige overflade i forhold til og -akserne. De kanoniske parametre for denne teori og . Forskydningsspændingskorrektionsfaktoren tages normalt som . $w$ $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$ $x_{2}$ $x_{1}$ ${\mathcal {A}}=1$ ${\mathcal {B}}=0$ $\kappa$ $5/6$

Løsninger til de grundlæggende ligninger kan findes, hvis de tilsvarende Kirchhoff-Love løsninger kendes ved hjælp af relationerne

{\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac ({\mathcal {M))^{K)){\kappa Gh))\left(1-{\frac ({\ matematisk {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1))}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}} c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A))))\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2))}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K)){\partial x_{2))}-{\frac {1}{ \kappa Gh))\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac ({\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_ {2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2))}\venstre({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A))))\nabla ^{ 2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1))}\end{aligned }}

hvor er forskydningen forudsagt for en Kirchhoff-Love-plade, en biharmonisk funktion, sådan at , en funktion, der opfylder Laplace-ligningen, og $w^{K}$ $\Phi$ $\nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0$ $\psi$ $\nabla ^{2}\Psi =0$

{\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q +D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K} &=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1))}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}= -D{\frac {\partial }{\partial x_{2))}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _ {1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c ^{2}\Omega \,.\end{aligned}}

Frit understøttede rektangulære plader

For frit understøttede plader er summen af Marcus-momenter nul

{\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\venstre({\frac {\partial \varphi _{ 1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.

I dette tilfælde er funktionerne , , lig med nul, og Mindlin-løsningen er relateret til den tilsvarende Kirchhoff-løsning ved relationen $\Phi$ $\psi$ $\Omega$

w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.

Bøjning af udkragede Reissner-Stein plader

Reissner-Stein teorien for cantilever plader [23] fører til følgende koblede almindelige differentialligninger for en cantilever plade med en koncentreret endebelastning ved punktet . $q_{x}(y)$ $x=a$

{\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac { b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1 -\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}

og grænsebetingelser på punktet $x=a$

{\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^ {3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu){\cfrac {d\theta _{ x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac { b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}

Løsning af dette system med to ODE'er giver

{\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\venstre[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\, \left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(xa)]}}+\tanh[\nu _{b}(xa)]\ højre)\right]\end{aligned}}

hvor . Bøjningsmomenter og forskydningskræfter svarende til forskydning $\nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )))/b$ $w=w_{x}+y\theta _{x}$

{\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {xa}{b}}\right)-\venstre[ {\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(xa)]}}\right]\ gange \\&\quad \venstre[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\ sinh[\nu _{b}(xa)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y} }\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\venstre[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(xa)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}} {\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_ {x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(xa)]}}\højre)\gange \venstre[32+\cosh[\nu _{b}(3x -2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\højre.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(xa)]+23\ cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}