De Morgans love

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. april 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Morgens love (Morgens regler ) er logiske regler , der forbinder par af logiske operationer ved hjælp af logisk negation . Opkaldt efter den skotske matematiker Augustus de Morgan . Kort fortalt lyder de sådan her:

Negationen af en konjunktion er disjunktionen af negationer. Negationen af en disjunktion er en konjunktion af negationer.

Definition

Augustus de Morgan bemærkede oprindeligt, at følgende forhold gælder i klassisk propositionel logik :

ikke (a og b) = (ikke a) eller (ikke b) ikke (a eller b) = (ikke a) og (ikke b)

Symbolsk kan dette skrives som følger:

{\begin{matrix}\neg {(a\wedge b)}=\neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}=\neg {a}\wedge \ neg {b}\end{matrix}}

000eller på anden måde:000

{\begin{matrix}\overline {(a\wedge b)}=\overline {a}\vee \overline {b}\\\overline {(a\vee b)}=\overline {a}\wedge \ overline {b}\end{matrix}}

I mængdelære :

{\begin{matrix}\overline {A\cap B}=\overline {A}\cup \overline {B}\\\overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B} \end{matrix}}

000eller på anden måde:000

{\begin{matrix}(A\cap B)^{C}=A^{C}\kop B^{C},\\(A\kop B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.\end{matrix}}

Disse regler er også gyldige for flere elementer (familier):

\overline {\bigcap _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcup _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

00000og .00000

\overline {\bigcup _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcap _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

I prædikatregning :

\neg \foral x\,P(x)\equiv \eksisterer x\,\neg P(x),

\neg \eksisterer x\,P(x)\equiv \foral x\,\neg P(x).

Konsekvenser:

Ved at bruge De Morgans love kan man udtrykke en konjunktion i form af en disjunktion og tre negationer. Disjunktionen kan udtrykkes på samme måde:

a\kile b=\neg (\neg {a}\vee \neg {b})

a\vee b=\neg (\neg {a}\kile \neg {b})

I form af en sætning :

Hvis der er en bedømmelse udtrykt ved operationen af logisk multiplikation af to eller flere elementer, det vil sige operationen "og" :, så for at finde den inverse af hele dommen, er det nødvendigt at finde den inverse af hvert element og kombinere dem med operationen af logisk addition , det vil sige operationen "eller » : . Loven virker tilsvarende i den modsatte retning: . ${\displaystyle {(A\wedge B)))$ ${\displaystyle {\neg (A\kile B)))$ $(\neg {A}\vee \neg {B})$ $\neg (A\vee B)=(\neg {A}\kile \neg {B})$

Ansøgning

De Morgans love gælder på vigtige områder såsom diskret matematik , elektroteknik , fysik og datalogi ; for eksempel bruges de til at optimere digitale kredsløb ved at erstatte nogle logiske elementer med andre.

Historie

Den modstridende modsætning til en disjunktiv dom er en konjunktiv dom sammensat af modstridende modsætninger af dele af en disjunktiv dom.

Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Den modstridende modsætning af en disjunktiv proposition er en konjunktiv proposition, der er sammensat af modsætningerne af dele af disjunktiv proposition. — William af Ockham , Summa Logicae

Se også

Inklusion-udelukkelsesformel

Links

Weisstein, Eric W. De Morgans love hos Wolfram MathWorld .

Logikkens love

Love

Hoved	Lov om identitet Lov om modsigelse Loven om den udelukkede midterste Loven om dobbelt negation Pierces lov Lov om tilstrækkelig fornuft
De Morgans love Lovene om deduktiv ræsonnement Clavius lov

Loves principper og egenskaber

Eksplosionsprincip
Monotonicitet af involvering
Idempotens af tiltrækning
Kommutativitet af konjunktion
Opdelingsprincip