Masse-lysstyrke forhold

Masse-lysstyrkeforholdet er en ligning i astrofysik , der viser forholdet mellem en stjernes masse og dens lysstyrke. Denne ligning har formen

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\venstre({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a},

hvor L ⊙ og M ⊙ er Solens lysstyrke og masse , 1 < a < 6. [1] Værdien a = 3,5 bruges normalt for hovedsekvensstjerner [2] med massen 2 M ⊙ < M < 20 M ⊙ og gælder ikke for røde kæmper eller hvide dværge . Hvis stjernen når Eddington-grænsen , er værdien a = 1.

For forskellige områder af stjernemasser ser masse-luminositetsafhængigheden sådan ud: [1] [3]

{\frac {L}{L_{\odot }}}\ca. 0.23\venstre({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}\qquad (M<0.43 M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\venstre({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}\qquad \qquad (0,43M_{ \odot <M<2M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\ca. 1,5\venstre({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}\qquad (2M_{\ odot <M<20M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 3200{\frac {M}{M_{\odot }}}\qquad \qquad (M>20M_{\odot })

For stjerner med en masse mindre end 0,43 M ⊙ , er den vigtigste transportmekanisme konvektion , som ændrer forholdet væsentligt. For stjerner med masser over 20 M ⊙ har afhængigheden formen L ∝ M . [1] Det kan påvises, at denne ændring i afhængigheden opstår på grund af en stigning i strålingstrykket i massive stjerner. Disse ligninger opnås empirisk ved bestemmelse af stjerners masser i binære systemer , hvortil afstanden er kendt fra målinger af parallakser eller ved hjælp af andre metoder. Når man plotter data på et tilstrækkeligt stort antal stjerner på en graf med en logaritmisk skala af akserne, danner punkterne en linje, hvis hældning angiver værdien af a.

Masse-lysstyrkeforholdet er vigtigt, fordi det tillader estimering af afstanden til binære systemer, der er for langt væk til, at deres parallakse kan måles ved hjælp af den dynamiske parallaksemetode . Denne afhængighed kan også bruges til at bestemme en stjernes levetid, da den er omtrent proportional med M/L-forholdet.

Afledning af ligningen

Udledningen af et nøjagtigt teoretisk forhold kræver viden om energiskabelsesligningen og skabelsen af en termodynamisk model af stjernens indre. Imidlertid kan hovedrelationen L ∝ M 3 udledes af fysikkens grundlæggende love under nogle simplificerende antagelser. [4] Den første konklusion af denne art blev draget af astrofysiker Arthur Eddington i 1924. [5] Inden for rammerne af denne tilgang blev spørgsmålet om stjerner repræsenteret som en ideel gasmodel. Nedenfor vil vi præsentere en lignende afhængighedsafledningsalgoritme, men uden at tage højde for optisk opacitet.

I den første tilnærmelse kan stjerner repræsenteres som absolut sorte legemer med et overfladeareal på 4 πR 2 . Ifølge Stefan-Boltzmann-loven er lysstyrken

L=4\pi R^{2}\sigma T_{E}^{4},

hvor σ er Stefan-Boltzmann-konstanten lig med 5,67 × 10 −8 W m −2 K −4 . Ved hydrostatisk ligevægt finder ligheden sted

{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm(r)\rho (r)}{r^{2}}}.

Når man integrerer denne lighed over r fra 0 til R, opnås et af udtrykkene for virialsætningen :

\langle P\rangle =-{\frac {1}{3}}{\frac {E_{GR}}{V}}

Den potentielle energi for en sfærisk fordelt masse har formen

E_{GR}=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}.

Ved at erstatte dette udtryk i den foregående formel og erstatte rumfanget V med kuglens rumfang, opnår vi en omtrentlig lighed

\langle P\rangle \approx {\frac {GM^{2}}{4\pi R^{4}}}

En af forenklingerne er antagelsen om, at den ideelle gastilstandsligning for det givne system er gyldig:

PV=nkT,\qquad \langle P\rangle ={\frac {\langle \rho \rangle }{\bar {m))}kT.

Udtrykket for temperaturen vil se ud

kT={\frac {GM{\bar {m}}}{3R}}

Her viser den gennemsnitlige masse af gaspartikler inde i stjernen. Når dette udtryk indsættes i ligningen for lysstyrke, såvel som når radius udtrykkes i formen ${\bar {m))$

R=\left({\frac {3}{4}}{\frac {1}{\rho \pi }}M\right)^{\frac {1}{3}}

få sammenhængen mellem lysstyrke og masse

L\varpropto M^{3.33}

Et lidt mere præcist udtryk kan opnås ved at tage højde for, at ovenstående ligning giver os mulighed for at opnå gennemsnitstemperaturen ved et kendt gennemsnitstryk, men når man udtrykker lysstyrken, er det nødvendigt at kende temperaturen på stjernens overflade . Da stjerner er meget varmere i deres centrale områder end på overfladen, skal forholdet mellem overfladetemperatur og indre temperatur estimeres. Den centrale del af stjernen er så varm, at det tager lang tid for energien at forlade den centrale region; termodynamisk ligevægt nås med andre ord ret hurtigt. Ved hjælp af en tilfældig gangmodel kan man estimere mængden af tid, der kræves for at frigive energi. Faktisk afhænger den gennemsnitlige frie vej for fotoner for Solen af tætheden og temperaturen, men i denne betragtning vil vi tage denne værdi som en konstant. Efter interaktioner, der fører til forskydninger af bevægelsesvektoren i tilfældige retninger, har den tilbagelagte afstand formen $l$ $N$ $N$

\mathbf {D=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n))

Kvadraten af forskydningsmodulet kan udtrykkes som

D^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\cdots +l_{n}^{2}+2(\mathbf {l_{1}\cdot l_{2}+l_{1}\cdot l_{3}+\cdots )}

Når der tages et gennemsnit over et stort antal forskydninger, vil termerne, der indeholder skalarproduktet , blive nulstillet på grund af retningernes tilfældighed. Således, for store værdier, udtrykket $N$

D^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\cdots +l_{n}^{2}=Nl^{2}.

For at strålingen skal kunne forlade Solen, er det derfor i gennemsnit nødvendigt med re-emissioner. Den tid det tager for denne proces at ske er . Den tid, der kræves for at passere Solens radius uden reemission er , hvilket er mindre end det tidligere resultat med en faktor på . Ved at indsætte den resulterende relation i Stefan-Boltzmann-loven får vi udtrykket ${\frac {R^{2}}{l^{2}}}$ $t\approx {\frac {R^{2}}{cl}}$ ${\frac {R}{c}}$ ${\frac {l}{R))$

T_{E}\approx {\Big [}{\frac {l}{R}}{\Big ]}^{\frac {1}{4}}T_{I}

Det endelige udtryk for lysstyrken vil have formen [4]

L\approx 4\pi R^{2}\sigma T_{I}^{4}{\frac {l}{R}}\approx {\frac {(4\pi )^{2}} {3^{5}}}{\frac {\sigma }{k^{4}}}G^{4}{\bar {m}}^{4}\langle \rho \rangle lM^{3} .

Den gennemsnitlige frie vej er omvendt proportional med produktet af tværsnittet og koncentrationen, derfor

l\varpropto \langle \rho \rangle ^{-1}.

Ved at erstatte dette udtryk med den foregående formel får vi

L\varpropto M^{3}.

At skelne mellem stjerner med lav og høj masse

Forskellen mellem tilfældene af lave og høje stjernemasser kan opnås ved at udlede ligningerne under hensyntagen til strålingstrykket. I dette tilfælde er det lettere at overveje optisk opacitet og intern temperatur . Mere præcist bør man overveje gennemsnitstemperaturen i den strålingsoverførselszone . $\kappa$ $T_{I}$

Strålingstrykgradienten opfylder ligheden

{\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},

hvor er lysets hastighed og er lig med en fotons frie vej. $c$ $1/\kappa \rho =l$

Strålingstrykket er relateret til temperaturen ved forholdet , derfor $P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4},$

{T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L} {4\pi r^{2}}},

hvorfra følger proportionaliteten

L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{ M}}.

I zonen med strålingsoverførsel balanceres tyngdekraften af gastrykket og strålingen. For stjerner med lille masse er strålingstrykket lille, derfor er forholdet gyldigt

T_{I}\varpropto {\frac {M}{R))

Således har udtrykket for lysstyrken i dette tilfælde formen

L\varpropto M^{3}.

For stjerner med høj masse overstiger strålingstrykket gastrykket i strålingsoverførselszonen. I dette tilfælde udtrykket

{T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},

hvilket fører til formen af forholdet mellem masse og lysstyrke:

L\varpropto M.

Noter

↑ 1 2 3 Salaris, Maurizio; Santi Cassisi. Udvikling af stjerner og stjernepopulationer (engelsk) . - John Wiley & Sons , 2005. - S. 138-140. - ISBN 0-470-09220-3 .
↑ Masse-lysstyrkeforhold . hyperfysik. Hentet 23. august 2009. Arkiveret fra originalen 22. oktober 2019. (ubestemt)
↑ Duric, Nebojsa avanceret astrofysik . - Cambridge University Press , 2004. - S. 19. - ISBN 978-0-521-52571-8 .
↑ 12 Phillips, A.C. The Physics of Stars . - John Wiley & Sons , 1999. - ISBN 978-0-471-98798-7 .
↑ Lecchini, Stefano. Hvordan dværge blev kæmper. Opdagelsen af masse-luminositetsforholdet . — Bern Studier i Videnskabens Historie og Filosofi. — ISBN 978-3-9522882-6-9 . (utilgængeligt link)