Konfidensinterval for den forventede værdi af en normal prøve

Kendt varianstilfælde

Lade være en uafhængig prøve fra normalfordelingen , hvor er den kendte varians af . Lad os definere en vilkårlig og konstruere et konfidensinterval for den ukendte middelværdi . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\sigma ^{2}$ $\alpha \in[0,1]$ $\mu$

Udmelding. Tilfældig værdi

Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n))))

har en standard normalfordeling . Lad — være kvantilen af standardnormalfordelingen . Så på grund af sidstnævntes symmetri har vi: $\mathrm {N} (0,1)$ $z_{\alpha }$ $\alfa$

\mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\right)= 1-\alfa

Efter at have erstattet udtrykket med simple algebraiske transformationer får vi: $Z$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \ mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha

Tilfælde af ukendt varians

Lade være en uafhængig prøve fra en normalfordeling, hvor er ukendte konstanter. Lad os bygge et konfidensinterval for det ukendte middelværdi . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu ,\sigma ^{2}$ $\mu$

Udmelding. Tilfældig værdi

T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}

hvor er den upartiske prøvestandardafvigelse, har en Students fordeling med frihedsgrader . Lad — være kvantiler af Students fordeling . Så på grund af sidstnævntes symmetri har vi: $S$ $n-1$ $\mathrm {t} (n-1)$ $t_{\alpha ,n-1}$ $\alfa$

\mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2)), n-1}\right)=1-\alpha

Efter at have erstattet udtrykket med simple algebraiske transformationer får vi: $T$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}} \leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right )=1-\alfa