Mahlers hypotese

Mahlers hypotese er en hypotese af den metriske teori om talklassificering om størrelsen af "målet for transcendens" af næsten alle tal. Den blev formuleret af K. Mahler i 1932 [1] Bevist af V. G. Sprindzhuk i 1965 [2] [3]

Ordlyd

Overvej tilnærmelser af nul ved værdier af heltalspolynomier for argumentværdier, der er reelle eller komplekse tal og for faste . Lad os kalde polynomiets højde for en værdi og antage, at den stiger. Lad os betegne . Her overtages minimum alle heltalspolynomier af højst grad , højde højst og med betingelsen . Lad os betegne . Lad være et transcendentalt tal. Lad os introducere notationen: — for reelle tal, — for komplekse tal, , hvor , , hvor . ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ $\omega$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$ $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$ $P$ $n$ $H$ $P(\omega )\neq 0$ $w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty ))}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H )))}{\ln H))$ $w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\omega$ $\Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\Theta (\omega )=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega )$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $\eta (\omega )=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega )$ $n=2,\;3,\;\ldots$

Mahlers formodning siger, at , [4] . $\Theta (\omega )=1$ $\eta (\omega )={\frac {1}{2))$

Bevis

Beviset findes i artiklen [3] .

Noter

↑ Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunction und des Logarithmus // I, II J. reine und angew. Matematik. - 1932. - v. 166. - S. 118-136, 137-150.
↑ Sprindzhuk V. G. Bevis for K. Mahlers formodning om målet for mængden af komplekse S - tal // Uspekhi Mat . Nauk . - 1964. - T. 19, nr. 2. - S. 191-194.
↑ 1 2 Sprindzhuk V. G. Bevis for Mahler-formodningen om mål for mængden af S -tal // Izv. USSR Academy of Sciences, ser. måtte. - 1965. - V. 29, nr. 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , s. elleve.

Litteratur

Sprindzhuk VG Mahlers problem i metrisk talteori. - Minsk: Videnskab og teknologi, 1967. - 184 s.