Beregning af koordinater for skæringspunkter mellem cirkler med lige høje armaturer

Beregning af koordinaterne for skæringspunkterne for cirkler med lige høje armaturer - en analytisk metode foreslået af Gauss til at bestemme de geografiske koordinater for observatørens placering ud fra de målte højder af to armaturer og deres deklinationer og timevinkler uden grafiske konstruktioner på kortet. Det bruges i astronomisk navigation sammen med Somner- metoden og overførselsmetoden (St. Hilaire-metoden) . Hvis det er umuligt at bestemme observationstiden, giver metoden alligevel mulighed for at beregne den geografiske breddegrad af observatørens placering.

I det generelle tilfælde kræver denne metode ikke viden om det nummererede sted , da observationen af den tredje armatur giver os mulighed for at eliminere tvetydigheden ved bestemmelse af stedet for de to første. Hvis det er umuligt at observere den tredje armatur, for at løse tvetydigheden, anbefales det at måle azimuterne for de observerede armaturer for at sammenligne dem med dem, der er beregnet for begge skæringspunkter. Acceptabel nøjagtighed for at tage azimut er ±10°. $(\varphi _{c};\lambda _{c})$

Indledende data

For et bestemt tidspunkt opnåede observation højden af to armaturer over horisonten , og hhv. [1] . Også fra almanakken relaterede deres deklinationer til dette øjeblik, og ; og Greenwich timevinkler, og . Nordlig deklination og østlig længde anses for positive værdier, sydlig deklination og vestlig længde er negative, i beregninger er det nødvendigt at følge konventionen om tegn på mængder . $UT_{o}$ ${\displaystyle h_{o1))$ ${\displaystyle h_{o2))$ $\delta _{1}$ $\delta _{2}$ ${\displaystyle t_{G1))$ $t_{G2}$

Hvis de valgte armaturer er stjerner, hvis deklinationer og højre opstigning kan tages uændret i løbet af dagen, i stedet for Greenwich-timevinklerne, er det tilladt at bruge værdierne for deres højre opstigning udtrykt i vinkelmål eller stjernekomplementer , . I dette tilfælde beregnes den geografiske breddegrad af observatørens placering uden at kende det nøjagtige tidspunkt for observation af armaturerne. $\alfa$ ${\displaystyle \tau ^{\star ))$

Beregningsforløb

Overvej de parallaktiske trekanter og , hvor er den nordlige himmelpol , og er de observerede kroppe, er observatørens zenit . og er armaturernes zenitafstande . $PZ\sigma _{1}$ $PZ\sigma _{2}$ $P_{N}$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $Z$ ${\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))$ ${\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))$

I det første trin af beregninger (bestemmelse af breddegrad) kræves værdien af timevinklen mellem armaturerne , som, i tilfælde af observation af planeter, Solen eller Månen, skal opnås fra deres Greenwich-timevinkler: $\Delta t$

{\displaystyle \Delta t=t_{G2}-t_{G1))

Når du observerer stjerner, kan denne værdi fås fra værdierne for deres højre opstigning:

\Delta t=15^{\left[{\frac {\circ }{h}}\right]}\cdot (\alpha _{2}^{[h]}-\alpha _{1} ^{[h]})

Fra stjernernes tilføjelser:

\Delta t=\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{2}^{\star })} _{t_{G2}}-\underbrace {(t_{G} ^{\curlyvee }+\tau _{1}^{\star })} _{t_{G1}}=\tau _{2}^{\star }-\tau _{1}^{\star }

De faktiske værdier af Greenwich-timevinkler vil være nødvendige i trinnet med at beregne længdegraden.

Ved loven om cosinus

Vinkelafstand mellem armaturer, : $D_{12}$

\cos(D_{12})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\delta_{1})\cdot \cos( \delta _{2})\cdot \cos(\Delta t)

Den konstante del af den parallaktiske vinkel , , ved den første lyskilde: $q_{1}$

\cos(q_{1})={\frac {\sin(\delta _{2})-\sin(\delta _{1})\cdot \cos(D_{12})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(\delta _{2})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(\delta _{1})}{\tan(D_{12})}}

Den variable del af den parallaktiske vinkel, , fra den første stjerne til observatøren: $\Delta q_{1}$

\cos(\Delta q_{1})={\frac {\sin(h_{o2})-\sin(h_{o1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos( h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12}) }}-{\frac {\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}}

Observatøren kan være placeret på et af to punkter, eller , placeret symmetrisk i forhold til buen , den faktiske værdi af den paralaktiske vinkel kan være summen eller forskellen af vinklerne og . $Fix_{1}$ $Fix_{2}$ $D_{12}$ $q_{1}$ $\Delta q_{1}$

Breddegrad for det første kryds, : $\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}+\Delta q_{1})

Breddegrad for det andet kryds, : $\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}-\Delta q_{1})

Baseret på et groft estimat af observatørens aktuelle placering, vælges en breddegradsværdi, , som er tættest på den forventede værdi. Der foretages yderligere beregninger med den. $\varphi _{o}$

Vinklens fortegn kan bestemmes uden at forsøge at beregne begge breddegradsværdier. Det er nok at kontrollere med typen af trekant : hvis det nummererede sted og den forhøjede pol af verden er på samme side af buen , skal værdien tages med et minustegn, hvis det nummererede sted og polen af verden er på forskellige sider, bør værdien tages med et plustegn. $\Delta q_{1}$ ${\displaystyle P\sigma _{1}\sigma _{2))$ $D_{12}$ $\Delta q_{1}$ $\Delta q_{1}$

Hovedværdien af den lokale timevinkel , , for den første lyskilde for breddegrad : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\cos(t_{1})={\frac {\sin(h_{o1})-\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\varphi _{o})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}={\frac {\sin(h_{o1})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}-\tan(\delta _{1})\cdot \tan(\varphi _{o})

Da funktionen $\arccos(x)$ altid returnerer vinkelværdier i området , er den faktiske værdi af den lokale timevinkel, , bestemt af stjernens position i forhold til observatørens meridian: hvis den er mod vest, så , hvis til østen altså . $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Hvis stjernen er tæt på observatørens meridian, kan det være svært at bestemme dens østlige eller vestlige azimut med sikkerhed, især for armaturer, der ligger nær zenit. For at vælge den faktiske værdi af timevinklen skal man beregne højden af den anden stjerne, forventet for begge mulige værdier på , og sammenligne med den observerede værdi . $t_{m1_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}

er den lokale timevinkel for det andet lyskilde ved funktionens hovedværdi

\arccos(\cos(t_{1}))

t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}

er den lokale timevinkel for det andet lyskilde ved den anden mulige værdi af inputvariablen

\sin(h_{c2_{I))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{I}})

- den beregnede højde af det andet armatur for stedet

(\varphi _{o};\lambda _{o_{I)))

\sin(h_{c2_{II))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{II}})

- den beregnede højde af det andet armatur for stedet

(\varphi _{o};\lambda _{o_{II)))

Længdegrad beregnes med værdien af timevinklen, , for den første armatur, hvor den beregnede, og observerede , højde af den anden armatur er konsistente. $t_{m1_{i))$ $h_{c2_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

Længdegraden af det valgte skæringspunkt mellem cirkler af samme højde, : $\lambda _{o}$

\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}

Observatørens geografiske koordinater og placeringer på tidspunktet bestemmes. $\varphi _{o}$ $\lambda _{o}$ $UT_{o}$

Tvetydighedsopløsning

Hvis kun to armaturer var tilgængelige for observation, for eksempel Solen og Månen, og det er umuligt at eliminere tvetydigheden i valget af koordinater ved at observere den tredje armatur, og opgørelsesstedet er ukendt engang tilnærmelsesvist, er det nødvendigt at beregne azimuterne for en af armaturerne for begge skæringspunkter og sammenligne dem med de observerede værdier.

Stjernens azimut ,: $EN$

\cos(A)={\frac {\sin(\delta)-\sin(h)\cdot \sin(\varphi _{i})}{\cos(h)\cdot \cos(\ varphi _{i})}}={\frac {\sin(\delta )}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i))}}-\tan(h)\cdot \tan (\varphi _{i})

For at vælge den korrekte værdi af breddegrad (og i fremtiden længdegrad) er det tilstrækkeligt at have et estimat af azimut af det observerede lys med en tolerance på ±10°.

Med hjælp fra haversines

Koordinaterne for skæringspunkterne, ifølge de samme indledende data, kan beregnes [2] ved hjælp af en enkelt trigonometrisk funktion - vinklens haversin , . For at opnå en koordinatnøjagtighed på et bueminut er en 4-cifret tabel med naturlige værdier for haversiner velegnet [3] , som giver dig mulighed for at foretage beregninger uden at bruge elektroniske regnemaskiner eller tabeller med logaritmer af værdierne af flere trigonometriske funktioner . $\operatørnavn {hav} (\theta )$

Hjælpemængder og : $F$ $G$

F=\operatørnavn {hav} (\delta _{2}-\delta _{1})

G=\operatørnavn {hav} (\delta _{2}+\delta _{1})

Vinkelafstand mellem armaturer, : $D_{12}$

\operatorname {hav} (D_{12})=F+(1-FG)\cdot \operatorname {hav} (\Delta t)

Vinkel komplementær til : $D_{12}$

{\displaystyle D^{*}=90^{\circ }-D_{12))

Zenith afstand , , af den første lyskilde; zenitafstand, , og polarafstand , , af den anden stjerne: $z_{1}$ $z_{2}$ $p_{2}$

{\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))

{\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))

{\displaystyle p_{2}=90^{\circ }-\delta _{2))

Den polære afstand måles altid fra den nordlige himmelpol.

Hjælpemængder , , , og : _ $J$ $K$ $L$ $P$ $R$ $S$

J=\operatørnavn {hav} (h_{o1}-D^{*})

K=\operatørnavn {hav} (h_{o1}+D^{*})

L=\operatørnavn {hav} (\delta _{1}-D^{*})

P=\operatørnavn {hav} (\delta _{1}+D^{*})

R=\operatørnavn {hav} (\delta _{1}-h_{o1})

S=\operatørnavn {hav} (\delta _{1}+h_{o1})

Hjælpehjørne : $\alfa$

\operatørnavn {hav} (\alpha )={\frac {\operatørnavn {hav} (z_{2})-J}{1-KJ))

Hjælpehjørne : $(\alpha +\beta )$

\operatørnavn {hav} (\alpha +\beta )={\frac {\operatørnavn {hav} (p_{2})-L}{1-PL))

Hjælpevinkel , der refererer til det første skæringspunkt mellem cirkler af samme højde: $\beta _{I}$

\beta _{I}=(\alpha +\beta )-\alpha

Vinklen komplementær til breddegraden, og breddegraden af det første skæringspunkt ,: $\phi _{I}^{*}$ $\varphi _{I}$

\operatorname {hav} (\phi _{I}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{I})

\varphi _{I}=90^{\circ }-\phi _{I}^{*}

Hvis den opnåede breddegradsværdi ikke stemmer overens med det omtrentlige skøn over observatørens aktuelle position, beregnes breddegraden for det andet skæringspunkt for cirkler af samme højde:

\beta _{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha

\operatørnavn {hav} (\phi _{II}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatørnavn {hav} (\beta _{II})

\varphi _{II}=90^{\circ }-\phi _{II}^{*}

Yderligere beregninger foretages med den valgte værdi . $\varphi _{o}$

Hjælpemængder og : $U$ $V$

U=\operatørnavn {hav} (\delta _{1}-\varphi _{o})

V=\operatørnavn {hav} (\delta _{1}+\varphi _{o})

Grundværdien af den lokale timevinkel , , for den første lyskilde, for breddegrad : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\operatorname {hav} (t_{1})={\frac {\operatørnavn {hav} (z_{1})-U}{1-VU))

Da funktionen altid returnerer vinkelværdier i området , er den faktiske værdi af den lokale timevinkel, , bestemt af stjernens position i forhold til observatørens meridian: hvis den er mod vest, så , hvis til østen altså . $\operatørnavn {archav} (x)$ $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Hvis stjernen er tæt på observatørens meridian, kan det være svært at bestemme dens østlige eller vestlige azimut med sikkerhed, især for armaturer, der ligger nær zenit. For at vælge værdien af timevinklen skal man beregne højden af den anden armatur, forventet for begge mulige værdier, og sammenligne med den observerede værdi . ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}