Ergodisk fordeling

Definition

Lad være en homogen Markov-kæde med diskret tid og et tælleligt antal tilstande. Betegn $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$

p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)

overgangssandsynligheder pr . trin. Hvis der eksisterer en diskret fordeling sådan, at og $n$ $\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$ $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$

\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots

så kaldes det ergodisk fordeling , og selve kæden kaldes ergodisk .

Grundsætning om ergodiske fordelinger

Lad være en Markov-kæde med et diskret tilstandsrum og en matrix af overgangssandsynligheder . Så er denne kæde ergodisk hvis og kun hvis den $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$

Den ergodiske fordeling er så den eneste løsning på systemet: $\mathbf {\pi }$

\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}

Se også

Stationær fordeling .

Klassificering af stater og Markov-kæder
Stat	aperiodisk returneres opnåelige uigenkaldelig ubetydelig nul periodisk positiv kommunikerer væsentlig
Lænke	aperiodisk returneres uigenkaldelig uopløselige nul tidsskrift positiv nedbrydeligt ergodisk