Hilberts fjerde problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. juni 2019; checks kræver 2 redigeringer .

Hilberts fjerde problem på listen over Hilberts problemer vedrører det grundlæggende aksiomsystem for geometri . Problemet er at

"Definer alt op til en isomorfisme af realiseringen af systemer af aksiomer for klassiske geometrier (Euklid, Lobachevsky og elliptisk), hvis de udelader kongruensaksiomer, der indeholder vinkelbegreberne, og supplerer disse systemer med aksiomet om trekantens ulighed" [1] .

I tilfælde af et fly, hvis vi accepterer kontinuitetsaksiomet, når vi frem til problemet fra Darboux:

"Find på flyet alle variationsproblemer, hvis løsninger alle er lige linjer på planet" [2] .

Flade metrics

Desargues sætning er sand :
Hvis to trekanter er placeret på en plan på en sådan måde, at linjerne, der forbinder de tilsvarende hjørner af trekanter, går gennem et punkt, så er de tre punkter, hvor forlængelserne af de tre par af tilsvarende sider af trekanter skærende ligge på én lige linje

En nødvendig betingelse for at løse Hilberts problem IV er kravet om, at det metriske rum , der opfylder dette problems aksiomer, er desarguesisk, det vil sige, at følgende betingelser skal være opfyldt:

Hvis rummet er todimensionelt, er det nødvendigt, at Desargues' sætning og dens modsætning holder;
Hvis rummets dimension er større end to, er det nødvendigt, at alle tre punkter ligger på samme plan.

For desarguesiske rum har Hamel bevist, at enhver løsning på Hilbert-problemet kan repræsenteres i et reelt projektivt rum eller i et konveks domæne, hvis kongruensen af segmenter er defineret gennem ligheden af deres længder i en speciel metrik, for hvilken linjerne i det projektive. rummet er geodætiske. $RP^{n}$ $RP^{n},$

Sådanne metrikker kaldes flade eller projektive.

Således blev løsningen af Hilberts problem reduceret til problemet med den konstruktive definition af alle komplette flade metrikker.

Hamel løste dette problem ved at foreslå tilstrækkelig regelmæssighed af metrikken [3] . Men som simple eksempler viser, udtømmer almindelige flade metrikker langt fra alle flade metrikker. Fra de aksiomer, der betragtes af geometri, følger kun kontinuiteten af metrikker. Derfor indebærer en komplet løsning af Hilberts problem en konstruktiv definition af alle kontinuerte flade metrikker.

Baggrund for Hilberts IV-problem

Indtil 1900 var Cayley-Kleins fortolkning af Lobachevskys geometri i enhedscirklen kendt , hvor akkorderne i cirklen er rette linjer, og afstanden mellem punkter bestemmes som logaritmen af det komplekse forhold mellem fire punkter.

For todimensionelle Riemann-metrikker beviste E. Beltrami (1835-1900), at de eneste flade metrikker er metrikker med konstant krumning [4] .

For multidimensionelle Riemann-metrikker blev denne erklæring bevist af E. Cartan i 1930.

I 1890 introducerede G. Minkowski i forbindelse med talteori, hvad vi nu kalder endelig-dimensionelle Banach-rum [5] .

Minkowski space

${\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n))$ er en kompakt lukket konveks hyperflade i det euklidiske rum, defineret implicit

F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\}.

Funktionen opfylder betingelserne: $F=F(y)$

$F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0$ ;
$F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0$ ;
$F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0$ .

Lad os indstille længden af vektoren OA således:

||OA||_{M}={\frac {||OA||_{\mathbb {E} }}{||OL||_{\mathbb {E} }}}.

Et rum med en sådan metrik kaldes et Minkowski-rum.

Hyperoverfladen kan være en uregelmæssig konveks overflade. Metrikken givet på denne måde er flad. $F_{{0}}$

Finsler mellemrum

Lad M være en glat finitdimensional manifold og lad M være et tangentbundt. En funktion kaldes en Finsler-metrik if $(x,y)\in TM$ $F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )$

$F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
For hvert punkt er begrænsningen af funktionen til Minkowski-normen. $x\i M$ $F(x,y)$ $T_{x}M$

$(M,F)$ kaldes Finsler-rummet.

Hilbert geometri

$U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|.\|_{\mathbb {E} })$ er et afgrænset åbent konveks sæt med klasse C 2 -grænse og positive normalkrumninger. I analogi med Lobachevsky-rummet kaldes hyperoverfladen for Hilbert-geometriens absolutte [6] . $\partial U$

Hilbert metrisk

d_{U}(p,q)={\frac {1}{2))\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E)){\|q-p_ {1}\|_{E))}\ gange {\frac {\|p-p_{1}\|_{E)){\|p-q_{1}\|_{E))}.

$d_{U}$ inducerer en Finsler Hilbert-metrik på U for enhver og (se fig.) $F_{U}$ $x\i U$ $y\in T_{x}U$

F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x- x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).

Denne metrik er også flad.

D. Hilbert introducerede det i 1895 som en generalisering af Lobachevskys geometri. Når hyperoverfladen er en ellipsoide, får vi Lobachevsky-geometrien. $\partial U$

Funks metrisk

I 1930 introducerede Funk en ikke-symmetrisk metrisk. Det er givet i et område afgrænset af en lukket konveks hyperflade og er også flad.

σ-metrics

Tilstrækkelig betingelse for flade metrics

Det første bidrag til løsningen af Hilberts problem IV blev givet af Hamel [3] . Han beviste følgende påstand.

Sætning . Hvis en almindelig Finsler-metrik opfylder betingelsen $F(x,y)=F(x_{1},....x_{n},y_{1},...,y_{n})$

${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{ 2}}{\partial x^{j}\partial y^{i}}},\,i,j=1..n,$

så er den flad.

Croftons formel

Overvej et sæt orienterede lige linjer i planet. Linjen er specificeret af parametrene hvor er afstanden til linjen fra origo, er den vinkel som linjen danner med Ox -aksen . Så er sættet af orienterede linjer homøomorf til en cirkulær cylinder med enhedsradius, hvor er arealelementet . Lad være en korrigerbar kurve i planet. Så dens længde $\rho ,\varphi ,$ $\rho$ $\varphi$ $dS=d\rho d\varphi$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\iint \limits _{\Omega }n(\rho ,\varphi )dpd\varphi

hvor er det sæt af linjer, der skærer den givne kurve, er antallet af skæringer af linjen med kurven. Dette blev vist af M. Crofton i 1870. $\Omega$ $n(p,\varphi )$

Et lignende udsagn gælder i et projektivt rum [7] .

Blaschke-Busemann mål

I 1966 introducerede G. Busemann, som talte ved den internationale matematiske kongres i Moskva, en ny klasse af flade metrikker. G. Busemann introducerede en fuldstændig additiv ikke-negativ foranstaltning på sættet af linjer i det projektive plan , som opfylder følgende betingelser: $RP^{2}$ $\sigma$

$\sigma (\tau P)=0$ , hvor er det sæt af linjer, der går gennem punktet P ; $\tau P$
$\sigma (\tau X)>0$ , hvor er det sæt af linjer, der går gennem et sæt X , der indeholder et linjestykke; $\tau X$
$\sigma (RP^{n})$ begrænset.

Hvis vi betragter -metrikken defineret i et vilkårligt konveks domæne af det projektive rum , erstattes betingelse 3) af kravet om, at for ethvert sæt H , sådan at H er indeholdt i , skærer lukningen af H ikke grænsen , $\sigma$ $\Omega$ $RP^{2}$ $\Omega$ $\Omega$

\sigma (\pi H)<\infty

[8] .

Ved hjælp af et sådant mål bestemmes -metrikken i : $\sigma$ $RP^{2}$

|x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),

hvor er det sæt af linjer, der skærer segmentet . $\tau [x,y]$ $[x,y]$

Trekantuligheden for denne metrik følger af Paschs sætning.

Sætning . -metrisk in er en flad metrik, det vil sige, at geodætik i denne metrik er linjer i det projektive rum. $\sigma$ $RP^{2}$

Men Busemann mente langt fra, at -metrics udtømmer alle flade metrikker. Han skrev: "... Friheden i valget af metrik, når man specificerer geodetik i tilfælde af ikke-riemannske metrikker er så stor, at man kan tvivle på, om der virkelig er en overbevisende karakterisering af alle desarguesiske rum..." [8] . $\sigma$

Todimensional kasus

Pogorelovs sætning

Sætningen bevist i 1973 af A. V. Pogorelov [9] [10] viste sig at være overraskende .

Sætning . Enhver todimensionel kontinuerlig komplet flad metrik er en -metrik. $\sigma$

Dermed er IV Hilberts problem for det todimensionelle tilfælde fuldstændig løst.

Andre beviser

I 1976 gav R. B. Ambartsumian endnu et bevis på Hilberts problem IV [11] . Hans bevis er relateret til det faktum, at i det todimensionelle tilfælde er hele målingen rekonstrueret ud fra dens værdier på digonerne. Og så er det givet på trekanter på samme måde som arealet af en trekant på en kugle er givet. På ikke-degenererede trekanter er det positivt, da trekantsuligheden holder, og så bestemmes målet på alle Borel-sæt. Men denne konstruktion er ikke generaliseret i dimension. Dette hænger sammen med Hilberts III problem, som blev løst af M. Dehn. I det todimensionale tilfælde er polygoner med samme areal ligeligt sammensat. I en højere dimension, som vist af M. Dehn, er dette ikke sandt.

3D sag

For tilfældet n=3 beviste A. V. Pogorelov følgende sætning

Sætning. Enhver tredimensionel regulær kontinuerlig komplet flad metrik er en -metrik. $\sigma$

Men i det tredimensionelle tilfælde kan -målinger tage både positive og negative værdier. Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at den regulære metrisk givet af den indstillede funktion er flad, er følgende tre betingelser: $\sigma$ $\sigma$

værdien på ethvert plan er nul; $\sigma$
værdien i enhver kegle er ikke-negativ; $\sigma$
værdien er positiv, hvis keglen indeholder indre punkter. $\sigma$

Derudover viste A. V. Pogorelov, at enhver komplet kontinuert flad metrik i det tredimensionelle tilfælde er grænsen for regulære -metrikker med ensartet konvergens i et hvilket som helst kompakt underdomæne af domænet, hvor denne metrik er specificeret. Han kaldte sådanne metrics for generaliserede -metrics. $\sigma$ $\sigma$

Det lykkedes således A. V. Pogorelov at bevise det

Sætning. Hver komplet kontinuert flad metrik i det tredimensionelle tilfælde er en -metrik i generaliseret forstand. $\sigma$

G. Busemann skrev i en anmeldelse af oversættelsen af bogen af A. V. Pogorelov `` Hilberts fjerde problem : "I overensstemmelse med tidsånden begrænsede Hilbert sig til dimensionerne n = 2, 3. A. V. Pogorelov begrænsede sig også til disse dimensioner. Selvom den reelle forskel mellem n = 2 og n > 2. Pogorelovs metode også virker for n > 3, kræver kun flere tekniske detaljer [12] ."

Multidimensional sag

Det multidimensionelle tilfælde IV af Hilberts problem blev undersøgt af ZI Sabo. I 1986 beviste han, som han selv skriver, Pogorelovs generaliserede sætning: Sætning. Ethvert n - dimensionelt desarguesisk klasserum genereres af Blaschke-Busemann-konstruktionen. $C^{n+2},n>2$

$\sigma$ -mål, der genererer et fladt mål, har følgende egenskaber:

$\sigma$ -mål for hyperplaner, der passerer gennem et fast punkt, er lig med nul.
$\sigma$ -mål for mængden af hyperplaner, der skærer to segmenter [x, y], [y, z] , hvor x, y, z ikke er collineære, er positiv.

Den samme artikel giver et eksempel på en flad metrik, der ikke genereres af Blaschke-Busemann-konstruktionen. ZI Sabo beskrev alle kontinuerte flade metrikker i sproget for generaliserede funktioner [13] .

IV Hilberts problem og konvekse kroppe

IV Hilberts problem er også tæt forbundet med egenskaberne ved konvekse kroppe. Et konveks polyeder kaldes en zonotop, hvis det er summen (ifølge Minkowski) af linjestykker. Et konveks legeme, som er grænsen for zonotoper i Blaschke-Hausdorff-metrikken, kaldes en zonoid . For zonoider er støttefunktionen repræsenteret som

h(x)=\int \limits _{S^{n-1}}|\langle x,u\rangle |\partial \sigma (u),

hvor er et endda positivt Borel-mål på kuglen . $\sigma (u)$ $S^{{n-1}}$

Minkowski-rummet genereres af Blaschke-Busemann-konstruktionen, hvis og kun hvis indikatorens støttefunktion har den ovenfor angivne form, hvor der er en endda ikke nødvendigvis tegnkonstant Borel-mål [14] . Legemer, der er afgrænset af sådanne hyperoverflader, kaldes generaliserede zonoider. $\sigma (u)$

Et oktaeder i det euklidiske rum er ikke en generaliseret zonoid. Så følger det af udsagnet ovenfor, at den flade metriske værdi af Minkowski-rummet med normen ikke genereres af Blaschke-Busemann-konstruktionen. $|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leqslant 1$ $E^{3}$ ${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\))$

Generaliseringer af Hilberts problem IV

Der blev fundet en overensstemmelse mellem flade n -dimensionelle Finsler-metrikker og specielle symplektiske former på en Grassmann-manifold i [15] . $G(n+1,2)$ $E^{n+1}$

Periodiske løsninger af Hilberts IV-problem blev overvejet:

Lad (M, g) være en kompakt lokalt euklidisk Riemannmanifold. Det er givet en Finsler-metrik, hvis geodetik falder sammen med metrikken g . Så er Finsler-metrikken summen af en lokalt Minkow-metrik og en lukket 1-form [16] . $C^{2}$

Lad (M, g) være et kompakt symmetrisk Riemann-rum af rangorden større end én. Hvis F er en symmetrisk Finsler-metrik, hvis geodetik falder sammen med geodetik af den Riemannske metriske g, så er (M, F) et symmetrisk Finsler-rum [16] . $C^{2}$

En anden præsentation af Hilberts problem IV er i Paveys papir fra 2003 [17] .

Uløste problemer

Hilberts IV-problem for asymmetrisk afstand er ikke blevet løst.
En analog af den sidste sætning for tilfældet med symmetriske rum i rang 1 er ukendt.
Beskriv metrik for hvilke k -planer, der minimerer k -areal (G. Busemann) [18] . $RP^{n}$

Litteratur

↑ D. Hilbert, Mathematische Probleme , Gottinger Nachrichten, 1900, 253-297
↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des surfaces , V.III, Paris, 1894.
↑ 1 2 G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten synd , Math. Ann. 57 (1903), 221-264.
↑ E. Beltrami, Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette , Annali di Matematica Pura ed Applicata, nr. 7 (1865), 185-204
↑ H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Lpz.-B., 1953
↑ D. Hilbert, Uber die gerade Line als kurzeste Verbindung zweier Punkte , Math. Ann. 46 (1895), 91-96
↑ LA Santalo, Integral geometri.- I: Studies in Global Geometry and Analysis (SS Chern, red.), Washington, DC: Math. asoc. Amer, 147-195
↑ 1 2 G. Buseman, Geometry of geodesics , Moskva, 1962.
↑ A. V. Pogorelov, Fuldstændig løsning af IV Hilbert-problemet , DAN USSR nr. 208, bind 1 (1973), 46-49. Engelsk oversættelse: AV Pogorelov, En komplet løsning af "Hilberts fjerde problem , Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, No. 1 (1973), 48-52.
↑ A. V. Pogorelov, Hilberts fjerde problem . Ed. Nauka, 1974. Engelsk oversættelse: AV Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem , Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
↑ RV Ambartzumian, A note on pseudo-metrics on the plane , Z. Wahrscheinlichkeits theor. Verw. Geb. 37 (1976), 145-155.
↑ H. Busemann, Anmeldelse af: A.V. Pogorelov, Hilberts fjerde problem , Bull. amer. Matematik. soc. (NS) bind. 4, nr. 1 (1981), 87-90.
↑ ZI Szabo, Hilberts fjerde opgave I , Adv. Matematik. 59 (1986), 185-301.
↑ R. Alexander, Zonoid-teori og Hilberts fjerde problem , Geom. Dedicata 28, nr. 2 (1988), 199-211.
↑ JC Alvarez Paiva, Sympletic geometri and Hilbert fourth problem , J. Differ. Geom. 69, nr. 2 (2005), 353-378.
↑ 1 2 J. C. Alvarez Pavia og J. Barbosa Gomes, Periodic Solutions of Hilberts fjerde opgave , 20 s. arXiv:1809.02783v1[math.MG], 2018.
↑ JC Alvarez Paiva, Hilbert fjerde problem i to dimensioner I , i: MASS selecta: undervisning og læring avanceret bachelormatematik, red. S. Katok et al., Providence, RI, AMS, (2003), 165-183.
↑ A. Papadopoulos, Om Hilbert fjerde opgave, 1-43. Håndbog i Hilbert-geometri (A. Papadopoulos og M. Troyanov, red.), European Mathematical Society, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, nr. 22 (2014), s. 460.

Hilbert problemer
en 2 3 fire 5 6 7 otte 9 ti elleve 12 13 fjorten femten 16 17 atten 19 tyve 21 22 23 ( 24 )