Finansieret sæt

Et velbegrundet sæt er et delvist ordnet sæt , hvor hvert ikke-tomt undersæt har et minimumselement . Med det minimale element her mener vi , sådan at for enhver af følgende [1] . I matematik er et velfunderet sæt også kendt som et komplet semilatice . $\langle M,R\rangle$ $S\subseteq M$ $S$ $m\i S$ $x\i S$ $x\,R\,m$ $x=m$

(Nogle forfattere[ hvad? ] kræver desuden , at relationen R forbindes .)

En ækvivalent definition, med forbehold for brugen af valgaksiomet , er, at en mængde M med relation R er velbegrundet, hvis og kun hvis den opfylder den faldende kæde-betingelse , dvs. der er ingen uendelig sekvens x 0 , x 1 , x 2 , ... af elementer fra M således at x n +1 R x n for ethvert indeks n .

Eksempler

Eksempler på velfunderede sæt uden fuld orden.

Sættet af heltal med delvis orden a < b , hvis og kun hvis a deler b og a ≠ b
Mættet af alle endelige strenge på et endeligt alfabet med delvis orden s < t hvis og kun hvis s strengt taget er inkluderet som en delstreng i t

Princippet om transfinit induktion

Lad være et velbegrundet sæt og . Så hvis for nogen af indeslutningerne følger , så falder det sammen med [2] . $\langle M,R\rangle$ $S\subseteq M$ $m\in M$ $\{s\in M:s\,R\,m,s\not =m\}\subseteq S$ $m\i S$ $M$ $S$

Noetherisk induktion

Noetherisk induktion er en generalisering af transfinit induktion, som er som følger.

Lad være et velbegrundet sæt, vær en påstand om elementerne i sættet , og lad os vise, hvad der er sandt for alle . For at gøre dette er det tilstrækkeligt at vise, at hvis , og er sandt for alle sådan , at , så er det også sandt. Med andre ord $\langle X,R\rangle$ $P(x)$ $x$ $P(x)$ $x\i X$ $x\i X$ $P(y)$ $y\in X$ $y\,R\,x$ $P(x)$ $\forall x\in X\,((\forall y\in X\,(y\,R\,x\to P(y)))\to P(x))\to \forall x\ i X\,(P(x)).$

Noter

↑ Ershov, Palyutin, 1987 , s. 70.
↑ Ershov, Palyutin, 1987 , s. 74.

Litteratur

Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Matematisk logik. — M .: Nauka, 1987. — 336 s.