Faa di Bruno formel

Faa di Bruno- formlen er en generalisering af formlen til at differentiere en kompleks funktion til derivater af højere orden. Den blev opkaldt efter den italienske matematiker og præst Francesco Faa di Bruno , takket være hvem hun blev berømt (omkring 1855), selvom den egentlige opdager af denne formel er Louis Francois Antoni Arbogast , som mere end 50 år før Faa di Bruno lavede den første publikationer [1] om dette emne.

Måske er den mest berømte formel for Faa di Bruno som følger:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{ n))))\cdot f^{(m_{1}+\dots +m_{n})}{\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{j=1}^ {n}{\big (}g^{(j)}(x){\big )}^{m_{j)),

hvor summen over alle n - tupler af ikke-negative heltal ( m 1 , …, m n ) der opfylder begrænsningen

1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.

Nogle gange, for bedre udenadshukommelse, skrives formlen som

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\dots +m_{n})}{\big (}g(x) ){\big )}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!)}}\right)^{m_ { j}},

dette reducerer dog åbenbarheden af den kombinatoriske fortolkning.

Ved at opsummere led med en fast værdi m 1 + m 2 + … + m n = k og bemærke, at m j skal være lig nul for j > n − k + 1, kan vi nå frem til en noget enklere formel udtrykt vha. Klokkepolynomierne B n , k ( x 1 , …, x n − k +1 ):

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum _{k=1}^{n}f ^{(k)}{\big (}g(x){\big )}\cdot B_{n,k}{\big (}g'(x),g''(x),\dots ,g ^{(n-k+1)}(x){\big )}.

Kombinatorisk form

Formlen har følgende kombinatoriske form:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=(f\circ g)^{(n)}( x)=\sum _{\pi \i \Pi }f^{{\big (}|\pi |{\big ))){\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{B\in \pi }g^{{\big (}|B|{\big )}}(x),

hvor

π tager værdier fra mængden Π af alle partitioner i sættet { 1, …, n }, B ∈ π betyder, at variablen B løber gennem dele af partitionen π, | A | angiver kardinalitet af mængden A (således er |π| antallet af blokke i partitionen π, | B | er størrelsen af blokken B ).

Eksempel

Formlens kombinatoriske form kan i begyndelsen virke kompliceret, så lad os overveje et specifikt tilfælde:

{\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)&=f''''{\big (}g(x){\big )}g'(x)^{ 4}+6f'''{\big (}g(x){\big )}g''(x)g'(x)^{2}+{}\\&+3f''{\big ( }g(x){\big )}g''(x)^{2}+4f''{\big (}g(x){\big )}g'''(x)g'(x) +{}\\&+f'{\big (}g(x){\big )}g''''(x).\end{aligned))

Alle handlinger udføres i henhold til følgende mønster:

{\begin{alignedat}{4}g'(x)^{4}&\leftrightarrow {}&1+1+1+1&\leftrightarrow {}&f''''{\big (}g(x ){\big )}&\leftrightarrow {}&1,\\g''(x)g'(x)^{2}&\leftrightarrow &2+1+1&\leftrightarrow &f'''{\big (}g (x){\big )}&\leftrightarrow &6,\\g''(x)^{2}&\leftrightarrow &2+2&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )} &\leftrightarrow &3,\\g'''(x)g'(x)&\leftrightarrow &3+1&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &4,\ \g''''(x)&\leftrightarrow &4&\leftrightarrow &f'{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &1.\end{alignedat))

Faktoren svarer åbenbart til 2 + 1 + 1 partitionen af 4 (rækkefølgen af den afledte). Dens faktor viser, at der er 3 udtryk i denne partition. Endelig betyder koefficienten 6, at der er præcis 6 partitioner af et sæt af 4 elementer, hvor en del indeholder to elementer og to dele indeholder en. $g''(x)g'(x)^{2}$ ${\displaystyle f'''{\big (}g(x){\big )))$

I analogi svarer faktoren i den tredje linje til 2 + 2 partitionen af tallet 4, og indikerer, at denne partition skal have 2 led. En faktor 3 siger, at der kun er én måde at opdele 4 elementer i grupper af størrelse 2. $g''(x)^{2}$ ${\displaystyle f''{\big (}g(x){\big )))$ ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$

De resterende udtryk i formlen fortolkes på samme måde.

Kombinatorisk fortolkning af koefficienter

Koefficienterne for Faa di Bruno-formlen kan udtrykkes i lukket form. Antallet af partitioner af et sæt af størrelse n svarende til en partition med antallet n :

n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}+\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}+\underbrace {3+\cdots +3 } _{m_{3}}+\cdots

lige med

{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_ {2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.

Disse koefficienter optræder også i Bell-polynomier , som er relevante for studiet af kumulanter .

Noter

↑ Arbogast, L. F. A. Du calcul des derivations (neopr.) . — Strasbourg: Levrault, 1800.

Faa di Bruno formel

Kombinatorisk form

Eksempel

Kombinatorisk fortolkning af koefficienter

Noter

Links