Peterson-Codazzi ligninger

Peterson-Mainardi-Codazzi-ligningerne er ligninger, der sammen med Gauss -ligningen udgør de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for systemets integrerbarhed, hvortil problemet med at genvinde en overflade fra dens første og anden andengradsform reduceres .

Ligninger

Peterson-Mainardi-Codazzi-ligningerne har formen

{\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2} b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{ 2}b_{21}

hvor er koefficienter af den anden kvadratiske form, er Christoffel symboler . $b_{{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$

Egenskaber

Bonnets sætning. Hvis og , er to glatte kvadratiske former i domænet , der opfylder Peterson-Codazzi-ligningerne, så eksisterer der også en unik (op til bevægelser) overflade , hvor disse former er den første og anden andengradsform. ${\displaystyle g=g_{ij))$ $b=b_{ij}$ $i,j\in \{1,2\}$ $U$ $\mathbb {R} ^{3}$
- Denne teorem blev også bevist af Peterson i sin afhandling.

Historie

Ligningerne blev først fundet af Peterson [1] i 1853, genopdaget af Mainardi [2] og Codazzi (1867) [3] .

Noter

↑ Peterson, KM "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. kandidatskrift. 1853.
↑ Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385-398, 1856.
↑ Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. matematik. pura applicata 2, 101-19, 1868-1869.

Litteratur

Rashevsky P.K., Kursus af differentialgeometri , M., 1956.
Toponogov, V. A. Differentiel geometri af kurver og overflader . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .