Afkortning af tråd

Et afkortningsflow er en proces, der ændrer en jævn kurve på et plan ved at flytte dens punkter vinkelret på kurven med en hastighed svarende til dens krumning .

Afkortningsflowet studeres hovedsageligt som det enkleste eksempel på et geometrisk flow , især giver det dig mulighed for at udarbejde teknikken til at arbejde med et Ricci-flow og med et flow med gennemsnitlig krumning .

Ligning

En en-parameter familie af kurver er en løsning på en afkortning af flow, hvis vi for en hvilken som helst værdi af parameteren har ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\tau$

{\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t))=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),

hvor er krumningen med kurvens fortegn ved punktet og er enhedsnormalvektoren til kurven i punktet . $\kappa _{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$ $n_{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$

Egenskaber

Hvis startkurven er enkel og lukket, så forbliver den sådan under påvirkning af afkortningsstrømmen.
For en simpel lukket kurve er afkortningsflowet defineret på det maksimale interval . $\gamma _{0}$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $t\in [0,T)$
- Ved kollapser kurven til et punkt. $t\to T$ ${\displaystyle \gamma _{t))$
Arealet afgrænset af kurven aftager med en konstant hastighed. ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- Især er sammenbrudsmomentet til et punkt fuldstændigt bestemt af området afgrænset af kurven :. $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$
Hvis den oprindelige kurve ikke er konveks, falder dens maksimale absolutte krumning monotont, indtil den bliver konveks.
For en konveks kurve falder det isoperimetriske forhold , og før det forsvinder ved singularitetspunktet, tenderer kurven til en cirkel i form. [en]
To ikke-skærende simple glatte lukkede kurver forbliver ikke-skærende, indtil en af dem kollapser til et punkt.
Cirklen er den eneste simple lukkede kurve, der bevarer sin form i strømmen.
- Nogle selvskærende kurver , såvel som kurver af uendelig længde, bevarer deres form.

Ansøgninger

Et forkortende flow på en kugle giver et af beviserne på Arnolds problem om eksistensen af mindst fire bøjningspunkter for enhver glat kurve, der skærer en kugle i skiver med samme areal. [2]

Noter

↑ Gage, ME (1984), "Kurveforkortning gør konvekse kurver cirkulære", Inventiones Mathematicae 76 (2): 357-364, doi:10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurd. "Bøjningspunkter, ekstatiske punkter og kurveforkortelse." Hamiltonske systemer med tre eller flere frihedsgrader. Springer Holland, 1999. 3-10.