Apollonius Point

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. juli 2019; checks kræver 9 redigeringer .

Apollonius-punktet Ap er et særligt punkt i en trekant. Det er defineret som skæringspunktet for linjerne, der forbinder trekantens toppunkter med kontaktpunkterne for trekantens 3 cirkler med cirklen omkranset omkring dem. Relateret til Apollonius-problemet . I Encyclopedia of Triangle Centres omtales det som midten af en trekant under navnet X(181).

Et eksempel på anvendelse af Apollonius-punktet på løsningen af Apollonius-problemet

Apollonius' opgave er at konstruere en cirkel, der tangerer tre givne cirkler, ved hjælp af et kompas og en retlinje. En af varianterne af dette problem, når den tredje cirkel rører de tre indre cirkler udvendigt, løses ved at introducere Apollonius-punktet Ap [1] [2] .

Apollonius-punktet Ap i Encyclopedia of Triangle Centres omtales som trekantens centrum under navnet X(181).
Inden for rammerne af dette problem er Apollonius' cirkel (ikke at forveksle med Apollonius-cirkler ) en cirkel, der rører tre cirkler uden for trekanten internt (se den grønne cirkel på figuren).

Omkreds af Apollonius

Definition af Apollonius' cirkel

Lad trekant ABC være givet . Lad trekanten ABC s cirkler , modsat hjørnerne A , B og C , være henholdsvis E A , E B , E C (se figur). Så rører cirklen af Apollonius E (vist med grønt i figuren til højre) internt tre cirkler af trekant ABC i punkterne henholdsvis E A , E B og E C (se figur) [3] .

Løsningen på det særlige Apollonius-problem nævnt ovenfor er den angivne cirkel E , der tangerer de tre givne cirkler E A , E B og E C eksternt.

Radius af Apollonius' cirkel

Radius af Apollonius cirkel er , hvor r er radius af den indskrevne cirkel og s er trekantens halve omkreds. [fire] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Definition af Apollonius-punktet Ap

Apollonius-punktet Ap eller X(181) i Encyclopedia of Triangle Centres , beskrevet i 1987, er defineret som følger:

Lad A' , B' og C' være tangentpunkterne for Apollonius-cirklen E med de tilsvarende excirkler. Så skærer linjerne AA' , BB' og CC' hinanden i et punkt Ap , som kaldes Apollonius-punktet i trekanten ABC .

Dens trilineære koordinater er:

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}$

Bemærk

På figuren er det angivne punkt for Apollonius Ap vist som skæringspunktet mellem tre vinkelrette sider på trekanten ABC , sænket fra tangenspunkterne A' , B' og C' med de tilsvarende excirkler i trekanten ABC , dannet af fælles parvise tangentlinjer af de tre cirkler nævnt ovenfor E A , E B og E C . Selvom dette punkt Ap ligger i skæringspunktet mellem de tre segmenter AA' , BB' og CC' , er de ikke vinkelrette på trekantens sider. Faktisk er dens projektioner til siderne af trekanten ABC hjørnerne af en ligesidet trekant, og vinkelrette sider på trekanten skærer hinanden ved dens ortocenter. Ortocentrets projektioner på siderne af trekanten er ikke hjørnerne af en ligesidet trekant. Ortocentret og Apollonius-punktet Ap falder kun sammen i en ligesidet trekant. Andre trekanter passer ikke sammen.

Ejendom

Den subdermale trekant af Apollonius-punktet er en ligesidet trekant .

Trilineære koordinater

Trilineære koordinater for Apollonius-punktet Ap :