Topologisk rum

Et topologisk rum er et sæt med en yderligere struktur af en bestemt type (den såkaldte topologi); er hovedobjektet for studiet af topologi .

Historisk set optrådte forestillingen om et topologisk rum som en generalisering af et metrisk rum . Topologiske rum opstår naturligt i næsten alle grene af matematikken. Blandt yderligere generaliseringer af ideer om et sæt med en rumlig struktur er et pseudotopologisk rum [1] .

Definition

Lad et sæt blive givet . Et system af dets delmængder kaldes en topologi på, hvis følgende betingelser er opfyldt: $x$ $\mathcal{T}$ $x$

Sammenslutningen af en vilkårlig familie af mængder, der tilhører , hører til ; det vil sige for ethvert indekseringssæt og familie , . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $EN$ $U_{\alpha }\in {\mathcal {T)),\alpha \in A$ $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$
Skæringspunktet mellem en begrænset familie af mængder, der hører til, hører til ; altså hvis , så . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots ,\;n)$ $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$
$X,\;\varnothing \in \mathcal{T}$ .

Parret kaldes et topologisk rum . Sæt, der hører til , kaldes åbne sæt . $(X,\;\mathcal{T})$ $\mathcal{T}$

Sæt, der er komplementer til åbne, kaldes lukkede .

Ethvert åbent sæt, der indeholder et givet punkt, kaldes dets naboskab .

Yderligere aksiomer

De tre aksiomer, der definerer den generelle klasse af topologiske rum, suppleres ofte af visse adskillelighedsaksiomer , afhængigt af hvilke forskellige klasser af topologiske rum, der skelnes, for eksempel Tikhonov-rum, Hausdorff-rum , regulære, helt regulære, normale rum osv.

Derudover er topologiske rums egenskaber stærkt påvirket af opfyldelsen af visse tællelighedsaksiomer - det første tælleaksiom , det andet tælleaksiom (rum med en tællig topologibase) samt rummets adskillelighed . Fra tilstedeværelsen af en tællig base af topologien følger adskillelighed og opfyldelsen af det første tælleaksiom. Derudover er for eksempel regulære rum med en tællig base normale og desuden metriserbare, det vil sige, at deres topologi kan gives af en eller anden metrik. For kompakte Hausdorff-rum er tilstedeværelsen af en tællig topologibase en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for metriserbarhed. For metriske rum er tilstedeværelsen af en tællig topologibase og adskillelighed ækvivalente.

Eksempler

En forbundet kolon er et topunkts topologisk rum.

En reel linje er et topologisk rum, hvis for eksempel vilkårlige (tomme, endelige eller uendelige) foreninger af endelige eller uendelige intervaller kaldes åbne mængder. Sættet af alle endelige åbne intervaller er grundlaget for denne topologi . Dette er standardtopologien på linjen. Generelt kan meget forskellige topologier introduceres på mængden af reelle tal, for eksempel en lige linje med en "piletopologi", hvor åbne mængder ser ud , eller en Zariski-topologi , hvor ethvert lukket sæt er et endeligt sæt af point. $\mathbb {R}$ $\{(a,\;b)\midt a,\;b\i\R\}$ $\R_\to$ $(en,\infty)$

Generelt er euklidiske rum topologiske rum. Deres standardtopologi kan være baseret på åbne kugler eller åbne kuber. Generaliseret yderligere er hvert metrisk rum et topologisk rum, hvis topologi er baseret på åbne kugler . Sådan er for eksempel de uendelig-dimensionelle rum af funktioner studeret i funktionel analyse . $\mathbb {R} ^{n}$

Sættet af kontinuerlige kortlægninger fra et topologisk rum til et topologisk rum er et topologisk rum med hensyn til følgende topologi, som kaldes kompakt åben . Præbasen er givet af sæt bestående af mappings, hvorunder billedet af et kompakt sæt i ligger i et åbent sæt i . $C(X,\;Y)$ $x$ $Y$ $C(K,\;U)$ $K$ $x$ $U$ $Y$

Et vilkårligt sæt kan gøres til et topologisk rum ved at kalde alle dets delmængder åbne. En sådan topologi kaldes diskret . I den er alle sæt åbne. Et andet begrænsende tilfælde er at kalde det mindst mulige antal delmængder åbne , nemlig at indføre en triviel topologi - kun det tomme sæt og selve rummet er åbne i det . $x$ $x$ $x$

Måder at definere topologi på

Angivelse af en topologi ved hjælp af en base eller prebase

Det er ikke altid praktisk at opregne alle åbne sæt. Det er ofte mere bekvemt at angive et mindre sæt åbne sæt, der genererer dem alle. En formalisering af dette er forestillingen om en topologibase. En topologidelmængde kaldes en topologibase, hvis ethvert åbent sæt er repræsenteret som en forening af sæt fra , dvs. $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall U \in \mathcal{T}\; \eksisterer \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

En endnu mere økonomisk måde at specificere en topologi på er at specificere dens præbase , et sæt, der bliver en base, hvis vilkårlige endelige skæringer af dens elementer tilføjes til det. For at et system af sæt kan erklæres som en præbase for topologien, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det dækker hele sættet . ${\mathfrak {P}}$ $x$

Præbaser bruges oftest til at specificere topologien induceret på en familie af kortlægninger (se nedenfor). $x$

Induceret topologi

Lad være en vilkårlig kortlægning af et sæt i et topologisk rum . Den inducerede topologi giver en naturlig måde at introducere en topologi på : åbne mængder i tages som alle mulige omvendte billeder af åbne mængder i ; det vil sige åben hvis der er en åben sådan at . Topologien på , beskrevet ovenfor, er den minimale og eneste (ved inklusion) topologi, hvor den givne kortlægning er kontinuerlig. $f:X\til Y$ $x$ $Y$ $x$ $x$ $Y$ $U\i X$ $V\in Y$ $U=f^{-1}(V)$ $x$

Eksempel. Lad topologisk rum, dets undergruppe. Hvis vi anvender den ovenfor beskrevne konstruktion på den mængdeteoretiske indlejring , får vi en topologi på en delmængde, normalt også kaldet den inducerede topologi. $x$ $EN$ $i:A\til X$

Faktortopologi

Lad være et topologisk rum, lad også nogle ækvivalensforhold defineres på det , i dette tilfælde er der en naturlig måde at definere topologien på faktorsættet . Vi erklærer et faktorundersæt åbent, hvis og kun hvis dets præbillede under faktoriseringstilknytningen er åbent i . Det er let at verificere, for det første, at dette faktisk definerer en topologi, og for det andet, at dette er den maksimale og eneste (ved inklusion) topologi, hvor den angivne faktoriseringsmapping er kontinuerlig. En sådan topologi kaldes normalt kvotienttopologien på . $x$ $\sim$ $X/{\sim }$ $x$ $X/{\sim }$

Definition af topologi med lukkede sæt

Et sæt kaldes lukket , hvis dets komplement er et åbent sæt. At definere en topologi på et system af lukkede sæt betyder at præsentere et system af delmængder med følgende egenskaber: $F\undersæt X$ $U = X \setminus F$ $x$ ${\mathcal {P}}$ $x$

Systemet er lukket under driften af skæringspunktet mellem sæt (inklusive uendelige familier): ${\mathcal {P}}$ $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
Systemet er lukket med hensyn til driften af forening af sæt (i en endelig mængde): ${\mathcal {P}}$ $F_1,\;F_2\i \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{P}$
Sæt er inkluderet i systemet . $X,\;\intet$ ${\mathcal {P}}$

Hvis et sæt system med sådanne egenskaber er givet, bruges komplementoperationen til at konstruere et åbent sæt system, der definerer topologien på . $\mathcal{T}$ $x$

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.

I algebraisk geometri anvendes en topologi på spektret (et system af alle primidealer ) af en kommutativ ring med enhed - . Topologien på introduceres ved hjælp af et system af lukkede sæt: lad være et vilkårligt ideal for ringen (ikke nødvendigvis simpelt), så svarer det til mængden $B$ $X = \mathrm{Spec}\, B$ $x$ $\mathfrak{a}$ $B$

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.

Alle mængder af denne art danner et mængdesystem, der opfylder de anførte aksiomer, da

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha} \right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.

Zariski-topologien i rummet er også specificeret ved hjælp af et system af lukkede sæt. Lukkede mængder i Zariski-topologien er alle mængder, der er mængden af fælles nuller i et endeligt system af polynomier. Opfyldelsen af aksiomerne for et system af lukkede mængder følger af , at ringen af polynomier er noethersk , og det faktum, at de fælles nulpunkter i et vilkårligt system af polynomier falder sammen med de fælles nuller i det ideal, de danner. $X=\mathbf{C}^n$ $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$

Rummet er naturligt indlejret i polynomeringens spektrum (det falder sammen med mængden af alle dets lukkede punkter), og Zariski-topologien falder ikke sammen med den, der induceres af rumtopologien . $X = \mathbf{C}^n$ $Y = \mathrm{Spec}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ $x$ $Y$

Kontinuerlige visninger

Begrebet topologi er det minimum, der er nødvendigt for at tale om kontinuerlige kortlægninger . Intuitivt er kontinuitet fraværet af diskontinuiteter, det vil sige, at tætte punkter i en kontinuerlig kortlægning bør gå ind i tætte. Det viser sig, at for at definere begrebet nærhed af punkter, kan man undvære begrebet afstand. Dette er netop den topologiske definition af en kontinuerlig kortlægning.

Et kort over topologiske rum siges at være kontinuerligt , hvis det omvendte billede af hvert åbent sæt er åbent. $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\til(Y,\;\mathcal{T}_Y)$

Kategorien topologiske rum indeholder som objekter alle topologiske rum, mens morfismer indeholder kontinuerlige afbildninger. Forsøg på at klassificere objekter i denne kategori ved hjælp af algebraiske invarianter er afsat til en del af matematisk videnskab kaldet algebraisk topologi . Generel topologi er viet til studiet af begreberne kontinuitet, såvel som andre begreber såsom kompaktitet eller adskillelighed, som sådan uden brug af andre værktøjer . Som yderligere strukturer på objektet kan der for eksempel være en bunke af sæt på eller en affin linje på , altså . Angiv kategorien af mellemrum fra med en ekstra struktur med . Forgetful functor - kartesiske bundter. Objekter kaldes rum med struktur. Lagobjektet ovenfor kaldes strukturen ovenfor . $\mathrm{Top}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ $x$ $x$ $\mathbb {A} _{X}\to X$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}^{E}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}^{E}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$

Funktionel struktur

Ifølge Hochschild er en funktionel struktur på en kortlægning , der tildeler hvert åbent sæt en subalgebra af algebraen af kontinuerlige reelle værdier på . Denne kortlægning er en bunke af algebraer, en underskive af kim af kontinuerlige funktioner med virkelig værdi på , som indeholder en konstant kæde. Dette følger af betingelserne for : $x$ ${\mathcal {F}}_{X}$ $U\undersæt X$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $U$ $x$ ${\mathcal {F}}_{X}$

hvis er en vilkårlig forening af åbne mængder, så hører tilknytningen til, hvis begrænsningen på hvert åbent sæt tilhører ; $U=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }$ $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $f$ ${\displaystyle U_{\alpha ))$ ${\mathcal {F}}_{X}(U_{\alpha })$
${\mathcal {F}}_{X}(U)$ indeholder alle konstanter på funktionen; $U$
hvis , så er begrænsningen på indeholdt i . $V\undersæt U$ $f\in {\mathcal {F}}_{X}(U)$ $V$ ${\mathcal {F}}_{X}(V)$

For eksempel er en -manifold med grænse et parakompakt Hausdorff-rum udstyret med en funktionel struktur , lokalt isomorf i forhold til rummet . Grænsen består af de punkter, der er afbildet til punkter i hyperplanet, og er en jævn -dimensionel manifold med den inducerede struktur. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(M,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} _{+}^{n},C^{\infty })$ $(n-1)$

Homotopi grupper af sfærer

Homotopigrupper af sfærer er grundlæggende topologiske invarianter, hvis forståelse fører til en bedre forståelse af topologiske rum generelt, såvel som tilstedeværelsen af et stort antal komplekse mønstre i deres struktur.

Se også

Ordliste over generel topologi

Noter

↑ Frölicher, 1970 , s. 21.

Litteratur

Aleksandrov, PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J.L. Generel topologi. — M .: Nauka, 1968.
Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Frölicher, A., Bucher W. Differentialregning i vektorrum uden norm. — M .: Mir, 1970.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Elementær topologi.
Vasiliev V. A. Introduktion til topologi. - M . : Fazis, 1997.