Thomas-Fermi teori

Thomas-Fermi-teorien ( Thomas-Fermi- modellen ) er en kvantemekanisk teori om den elektroniske struktur af et mangelegemesystem, udviklet ved hjælp af den semiklassiske tilnærmelse kort efter opdagelsen af Schrödinger-ligningen af Enrico Fermi og Luellin Thomas [1] [ 1] 2] . Den er ikke baseret på bølgefunktionen , men er formuleret i form af elektrontæthed og betragtes som en forløber for moderne tæthedsfunktionel teori.. Thomas-Fermi-modellen er kun korrekt i grænsen af uendelig nuklear ladning. Ved at bruge denne tilnærmelse for virkelige systemer giver teorien dårlige kvantitative forudsigelser og er ikke engang i stand til at gengive nogle fælles træk, såsom tætheden af atomernes skalstruktur og Friedel-oscillationer i faste stoffer. Det har dog fundet anvendelser på mange områder på grund af dets evne til at opnå korrekt kvalitativ adfærd analytisk og den lethed, hvormed det kan løses. Thomas-Fermi-udtrykket for kinetisk energi bruges også som en komponent i en mere kompleks tilnærmelse af den kinetiske energitæthed i moderne tæthedsfunktionsteorier , hvor orbitaler kan undværes .

Kinetisk energi

For et lille volumen element ΔV , og for et atom i grundtilstanden, kan vi udfylde det sfæriske momentum rum volumen V f op til Fermi momentum p f , og dermed [3]

V_{f}={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}}),

hvor er punktet i ΔV . $\vec{r}$

Det tilsvarende faserum har volumen

\Delta V_{ph}=V_{f}\ \Delta V={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}})\ \ Delta V.

Elektronerne i ΔV ph er fordelt ensartet, med to elektroner i h 3 af dette volumen af faserum, hvor h er Plancks konstant. [4] Så vil antallet af elektroner i ΔV ph være

\Delta N_{ph}={\frac {2}{h^{3}}}\ \Delta V_{ph}={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{ f}^{3}({\vec {r)))\ \Delta V.

Antal elektroner i ΔV :

\Delta N=n({\vec {r)))\ \Delta V,

hvor er elektrontætheden. $n({\vec {r)))$

Ved at sætte lighedstegn mellem antallet af elektroner i ΔV og i ΔV ph , får vi

n({\vec {r)))={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{f}^{3}({\vec {r}}).

Den brøkdel af elektroner, i hvis momentum ligger mellem momenta p og p+dp er ${\vec {r))$

{\begin{aligned}F_{\vec {r}}(p)dp&={\frac {4\pi p^{2}dp}{{\frac {4}{3}}\pi p_ {f}^{3}({\vec {r))))}\qquad \qquad p\leq p_{f}({\vec {r)))\\&=0\qquad \qquad \qquad \ quad {\text{ellers}}\\\end{aligned}}

Ved at bruge det klassiske udtryk for den kinetiske energi af en elektron med masse m e , den kinetiske energi pr. volumenenhed i for elektronerne i et atom ${\vec {r))$

{\begin{aligned}t({\vec {r)))&=\int {\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ n({\vec {r}} )\ F_{\vec {r}}(p)\ dp\\&=n({\vec {r}})\int _{0}^{p_{f}({\vec {r}}) }{\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ \ {\frac {4\pi p^{2}}{{\frac {4}{3}}\pi p_{f} ^{3}({\vec {r))))}\ dp\\&=C_{F}\ [n({\vec {r)))]^{5/3},\end{aligned} }

hvor det tidligere udtryk blev brugt, relaterende og og $n({\vec {r)))$ $p_{f}({\vec {r)))$

C_{F}={\frac {3h^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{\frac {2} {3}}.

Integrering af den kinetiske energi pr. volumenenhed over hele rummet fører til den samlede kinetiske energi af elektroner: [5] $t({\vec {r)))$

T=C_{F}\int [n({\vec {r)))]^{5/3}\ d^{3}r\ .

Dette resultat viser, at elektronernes samlede kinetiske energi kun kan udtrykkes i form af den rumligt afhængige elektrontæthed ifølge Thomas-Fermi-modellen. Derfor var de i stand til at beregne energien af et atom ved hjælp af dette udtryk for kinetisk energi, kombineret med de klassiske udtryk for kerne-elektron og elektron-elektron interaktioner (som kan repræsenteres som elektrontæthed). $n({\vec {r)))$

Potentiel energi

Den potentielle energi af elektronerne i et atom på grund af den elektriske tiltrækning af en positivt ladet kerne:

U_{eN}=\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r,

hvor er den potentielle energi af en elektron i et punkt placeret i kernens elektriske felt. I det tilfælde, hvor kernen er i et punkt (ladningen af kernen er Ze , hvor Z er et naturligt tal, e er den elementære ladning ): $V_{N}({\vec {r)))$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=0$

V_{N}({\vec {r)))={\frac {-Ze^{2}}{r}}.

Den potentielle energi af elektroner på grund af deres gensidige elektriske frastødning er

U_{ee}={\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}} \,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.

Samlet energi

Den samlede energi af elektroner er lig med summen af deres kinetiske og potentielle energier: [6]

{\begin{aligned}E&=T\ +\ U_{eN}\ +\ U_{ee}\\&=C_{F}\int [n({\vec {r)))]^{ 5/3}\ d^{3}r\ +\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r\ +\ { \frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\venstre\ vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.\\\end{aligned}}

Noter

↑ Thomas, LH Beregningen af atomfelter (ubestemt) // Proc. Cambridge Phil. Soc .. - 1927. - T. 23 , nr. 5 . - S. 542-548 . - doi : 10.1017/S0305004100011683 . - .
↑ Fermi, Enrico. Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo (italiensk) // Rend. Accad. Naz. Lincei: dagbog. - 1927. - V. 6 . - S. 602-607 . Arkiveret fra originalen den 15. december 2019.
↑ marts 1992, s.24
↑ Parr og Yang 1989, s.47
↑ marts 1983, s. 5, lign. elleve
↑ marts 1983, s. 6, lign. femten

Litteratur

R.G. Parr og W. Yang. Massefylde-funktionel teori om atomer og molekyler . - New York: Oxford University Press , 1989. - ISBN 978-0-19-509276-9 .
NH marts. Elektrondensitetsteori for atomer og molekyler . - Academic Press , 1992. - ISBN 978-0-12-470525-8 .
NH marts. 1. Oprindelse - The Thomas-Fermi Theory // Theory of The Inhomogeneous Electron Gas (uspecificeret) / S. Lundqvist og NH March. - Plenum Press , 1983. - ISBN 978-0-306-41207-3 .