Mertens' sætninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. april 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Mertens' sætninger er tre resultater fra 1874 relateret til tætheden af primtal , bevist af Franz Mertens [1] . Navnet "Mertens' sætning" kan også referere til hans sætning i analyse .

I talteori

Nedenfor betyder alle primtal, der ikke overstiger n . $p\leqslant n$

Mertens' første sætning :

\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

ikke overstiger 2 i absolut værdi for evt . (sekvens A083343 i OEIS ) $n \geqslant 2$

Mertens' anden sætning :

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM\right)=0,

hvor M er Meissel-Mertens konstant (sekvens A077761 i OEIS ). Mertens [1] beviste mere præcist, at udtrykket i parentes ikke overstiger den absolutte værdi

{\frac {4}{\ln(n+1)))+{\frac {2}{n\ln n))

for enhver . $n \geqslant 2$

Mertens' tredje sætning :

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

hvor y er Euler-Mascheroni-konstanten (sekvens A001620 i OEIS ).

Skiltskift

I Robins papir [2] om vækstgraden af summen af divisors funktion , offentliggjort i 1983, beviste Guy Robin, at i Mertens' anden sætning er forskellen

\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM

skifter fortegn uendeligt mange gange, og i Mertens tredje sætning forskellen

\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }

skifter også fortegn uendeligt mange gange. Robins resultater ligner Littlewoods berømte teorem , at forskellen skifter fortegn uendeligt mange gange. Ingen analog til Skewes-tallet (den øvre grænse for det første naturlige tal x for hvilket ) er kendt for 2. og 3. Mertens-sætninger. $\pi(x)-li(x)$ $\pi (x)>li(x)$

Mertens' anden sætning og primtalssætningen

Med hensyn til den asymptotiske formel påpeger Mertens i sin artikel "two curious Legendre-formler" [1] , hvor den første er prototypen på Mertens' anden sætning (og den anden er prototypen på Mertens' tredje sætning - se de første linjer i artikel). Han påpeger, at formlen er indeholdt i tredje udgave af Legendres Théorie des nombres (1830; faktisk nævnte han den i anden udgave, 1808), og at en mere udførlig version blev bevist af Chebyshev i 1851 [3] . Bemærk, at Euler allerede i 1737 kendte denne sums asymptotiske adfærd [4] .

Mertens beskriver diplomatisk sit bevis som mere præcist og stringent. Faktisk er ingen af de tidligere beviser acceptable efter moderne standarder - Eulers beregninger involverer uendelighed (den hyperbolske logaritme af uendelighed og logaritmen af logaritmen af uendelig!), Legendres argumenter er heuristiske, og Chebyshevs bevis, selvom det er upåklageligt, er afhængigt af Legendre -Gauss formodning, som først er blevet bevist i 1896 og derefter blev kendt som primtalssætningen .

Mertens' bevis refererer ikke til nogen ubevist formodning (i 1874) og bruger elementær reel analyse. Beviset blev udgivet 22 år før det første bevis på primtalssætningen, som i modsætning til Mertens' bevis bygger på en omhyggelig analyse af Riemann zeta-funktionens adfærd som funktion af en kompleks variabel. Mertens' bevis i denne henseende er bemærkelsesværdigt. Desuden giver det i moderne notation

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

under hensyntagen til, at det er muligt at vise ækvivalensen af sætningen om fordelingen af primtal (i sin enkleste form uden fejlestimering) til formlen [5]

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

I 1909 beviste Landau ved hjælp af en mere perfekt version af sætningen om fordelingen af primtal [6] at

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14)))

Især er fejlen mindre end for et hvilket som helst fast heltal k . Simpel summering af dele , ved hjælp af den stærkeste form af primtalssætningen, forbedrer formlen til ${\displaystyle 1/(\log x)^{k))$

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}( \log \log x)^{-1/5}})

for nogle . $c>0$

I summability theory

I summeringsteorien siger Mertens ' sætning , at hvis en reel eller kompleks uendelig række

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

konvergerer til A , og den anden række

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

konvergerer absolut til B , så konvergerer deres Cauchy-produkt til AB .

Noter

↑ 1 2 3 Mertens, 1874 , s. 46-62.
↑ Robin, 1983 , s. 233-244.
↑ Tchebychev, 1851 , s. 141-157.
↑ Euler, 1737 , s. 160-188.
↑ Selvom denne ækvivalens ikke er eksplicit nævnt her, kan den for eksempel let udledes af materialet i kapitel I.3 i G. Tenenbaums bog ( Tenenbaum 1995 )
↑ Landau, 1909 .

Litteratur

Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie // J. reine angew. Math.. - 1874. - T. 78 .
Robin G. Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs // Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Fremskridt i matematik. - 1983. - T. 38 .
Tchebychev P.L. - 1851. - T. VI .
Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Tenenbaum G. Introduktion til analytisk og probabilistisk talteori / CB Thomas (Oversat fra anden fransk udgave, 1995). - Cambridge: Cambridge University Press, 1995. - V. 46. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics).
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Leipzig: Teubner, 1909. Repr. Chelsea New York 1953, § 55, s. 197-203.
V. I. Zenkin. Fordeling af primtal. Elementære metoder. Kaliningrad, 2008.

Læsning for yderligere læsning

Prahar K. Fordelingen af primtal. — M.: Mir, 1967.

Yaglom A.M. , Yaglom I.M. Ikke-elementære opgaver i en elementær præsentation. - M.: Gostekhizdat, 1954.Opgaver 167, 169, 170