Alexandrovs monotonitetssætning

Aleksandrovs monotoniske sætning er en sætning om konvekse polyedre , bevist af A. D. Aleksandrov i 1937 [1] , [2] , [3] .

Formuleringer

Direkte

Hvis der etableres en en-til-en-korrespondance mellem flader af to lukkede konvekse polyedre i tredimensionelt euklidisk rum, således at (i) enhedsnormalerne til de tilsvarende flader falder sammen, og (ii) ingen af fladerne kan placeres inde i tilsvarende flade ved en parallel translation, så opnås polyedre fra en anden ved parallel overførsel (og især er de kongruente ).

Gennem monotone funktioner

En funktion kaldes en monoton polygonfunktion, hvis den har egenskaben: , hvis den kan placeres inde i . $f(Q)$ $Q$ $f(Q_{1})>f(Q_{2})$ $Q_{2}$ $Q_1$

Lad og være lukkede konvekse polytoper i tredimensionelle euklidiske rum med flader og henholdsvis, og for enhver af følgende betingelser er opfyldt: (i) enheden normaler til ansigterne og falder sammen og (ii) der eksisterer en monoton funktion, således at . Derefter opnås polytoperne og fra hinanden ved parallel translation (og især er de kongruente ). $P_1$ $P_2$ $Q_{1}^{1},\dots ,Q_{1}^{n}$ $Q_{2}^{1},\dots ,Q_{2}^{n}$ $k=1,\prikker ,n$ $Q_{1}^{k}$ $Q_{2}^{k}$ $f_{k}$ $f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})$ $P_1$ $P_2$

Noter

For tredimensionelt rum generaliserer Aleksandrovs konvekse polyedre-sætning Minkowskis unikkesætning , og siger, at "to lige store polyedre med parvis parallelle og lige store flader er lige store og parallelle." Her er det faktisk tilstrækkeligt at tage arealet som en monoton funktion af en polygon. $f(Q)$
Udsagnet fra Aleksandrovs sætning om konvekse polyedre, hvis vi tager omkredsen som den monotone funktion af en polygon i den, er interessant, fordi geometre i mere end 70 år ikke har været i stand til at finde en tilsvarende eksistenssætning. $f(Q)$
I et euklidisk rum med dimension 2 er et udsagn analogt med Aleksandrovs konvekse polyedre-sætning sand, men triviel .
I det euklidiske rum af dimension 4 (og i alle højere dimensioner) er et udsagn svarende til Aleksandrovs konvekse polyeder-sætning ikke sandt . Som et modeksempel kan vi tage en firedimensionel terning med kant 2 og en firedimensionel rektangulær kasse med kanter 1, 1, 3, 3.
For ligheden mellem flerdimensionelle konvekse polyedre, når deres parallelle todimensionelle flader ikke kan indlejres, se [4] .

Se også

Alexandrovs sætning om udfoldelsen af et polyeder

Noter

↑ A.D. Aleksandrov , Elementært bevis for Minkowski-sætningen og nogle andre sætninger om konvekse polyedre , Izvestiya AN SSSR. Ser. måtte. 1 , nr. 4, 597-606 (1937).
↑ A.D. Aleksandrov , konvekse polyeder . M.; L.: GITTL, 1950.
↑ L.A. Lyusternik , konvekse figurer og polyedre . M.: GITTL, 1956.
↑ A.I. Medyanik, En generalisering af unikkesteoremet af A.D. Aleksandrov for lukkede konvekse polyedre i tilfælde af -dimensionelt rum $n$ , Ukr. geom. Lør. 8 , 91-94 (1970).