Hobby-Ris-sætning

Hobby-Rice-sætningen dukkede første gang op og blev bevist i 1965 [1] da man overvejede spørgsmål om optimal tilnærmelse af funktioner i et Labesgue-rum . Et enklere bevis for teoremet blev givet af Pinkus [2] i 1976. Bruges også i problemer med retfærdig division . $L_{1}$

Sætning (tilpasset version)

Lad os dividere segmentet [0,1] med en talfølge i underintervaller: ${\displaystyle \{z_{i}\))$ $k+1$

0=z_{0}<z_{1}<\dotsb <z_{k}<z_{k+1}=1

Vi definerer en signeret partition som en partition, hvor hvert underinterval har et tilknyttet tegn : $jeg$ $\delta _{i}$

{\displaystyle \delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\))

Hobby-Rice-sætningen siger, at for enhver k kontinuerligt integrerbare funktioner:

g_{1},\dotsc ,g_{k}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}

der er en signeret partition af segmentet [0,1], således at:

\sum _{i=1}^{k+1}\delta _{i}\!\int _{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z) \,dz=0{\text{ for }}1\leqslant j\leqslant k.

(med andre ord, for hver af k- funktionerne er dens integral over positive underintervaller lig med dens integral over negative underintervaller).

Sætningen i sin oprindelige indstilling

Lad der eksistere reelle funktioner i et Labesgue-rum , hvor der er et endeligt atomløst mål på . Så findes der , sådan at $n$ ${\displaystyle \left\{\varphi (x)\right\}_{i=1}^{n))$ $L_{1}([0,1],\mu )$ $\mu$ $[0,1]$ $\{z_{i}\}_{i=1}^{r}$ $r\leq n$ $0=z_{0}<z_{1}<\ldots <z_{r}<z_{r+1}=1$

\sum _{j=1}^{r+1}(-1)^{j}\int _{z_{j-1}}^{z_{j}}\varphi _{i}( x)d\mu (x)=0\qquad i=1,\ldots ,n

Generaliseret hobby-ris-sætning

N. Alon i 1987 da han løste halskædeskæringsproblemet [3] , formulerede og beviste han den generaliserede Hobby-Rice-sætning.

Lad kontinuerlige sandsynlighedsmål angives på enhedsintervallet . Så er det muligt at skære enhedsintervallet på steder og danne fra de resulterende stykker familier sådan, at for alle . $t$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t))$ $(k-1)\cdot t$ $(k-1)\cdot t+1$ $k$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{k))$ ${\displaystyle \mu _{i}(\kop F_{j})={1 \over k))$ $1\leq i\leq t,\ 1\leq j\leq k$

I tilfældet får vi Hobby-Rice-sætningen. $k=2$

Brug i problemer med retfærdig division

Lad segmentet [0,1] være en kage . Der er k medlemmer og hver af k funktionerne er en tæthedsfunktion af værdier for et medlem. Vi skal dele kagen i to dele, så alle deltagere er enige om, at delene har samme størrelse. Dette retfærdige divisionsproblem kaldes nogle gange det matchende halveringsproblem [4] . Det følger af Hobby-Rice-sætningen, at dette kan gøres med k snit.

Noter

↑ Hobby, Rice, 1965 , s. 665-670.
↑ Pinkus, 1976 , s. 82-84.
↑ Alene, 1987 , s. 247-253.
↑ Simmons, Su, 2003 , s. 15-25.

Litteratur

Hobby CR, Rice JR Et øjebliksproblem i L 1 tilnærmelse // Proceedings of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1965. - Vol. 16 , udg. 4 . - doi : 10.2307/2033900 . — .
Allan Pinkus. Et simpelt bevis på Hobby-Rice-sætningen // Proceedings of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1976. - V. 60 , no. 1 . - doi : 10.2307/2041117 . — .
Noga Alon. Opdele halskæder // Fremskridt i matematik. - 1987. - Bd. 63 , udg. 3 . - doi : 10.1016/0001-8708(87)90055-7 .
Simmons FW, Su FE Konsensus-halvering via teoremer fra Borsuk-Ulam og Tucker // Mathematical Social Sciences . - 2003. - Bd. 45 . - doi : 10.1016/S0165-4896(02)00087-2 . Arkiveret fra originalen den 10. august 2017.