Hadwigers sætning

Hadwigers sætning karakteriserer kontinuerlige værdiansættelser på konvekse legemer i det euklidiske rum, der er invariante under bevægelser. Bevist af Hugo Hadwiger .

Introduktion

Vurderinger

Lad være klassen af alle ikke-tomme kompakte konvekse sæt i . En værdiansættelse på er en funktion sådan, at ligheden $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

gælder for enhver sådan , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Hvori

En værdiansættelse siges at være kontinuerlig , hvis den er kontinuerlig i forhold til Hausdorff-metrikken .
En værdiansættelse siges at være bevægelsesinvariant hvis for enhver bevægelse φ og enhver bevægelse $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Gennemsnitligt tværmål

$k$ Det gennemsnitlige tværmål af et legeme er defineret som det gennemsnitlige dimensionelle areal af projektioner på dimensionelle planer. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

I særdeleshed,

$W_{n}(S)$ - volumen , $S$
$W_{n-1}(S)$ er proportional med overfladearealet . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Ordlyd

Enhver kontinuerlig værdiansættelse v på K n , invariant under bevægelser, kan repræsenteres som

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).

Litteratur

Semyon Alesker Introduktion til teorien om værdiansættelser på konvekse sæt Videooptagelser af forelæsninger, Sommer Matematikskole "Algebra og Geometri" 25.—31. juli 2014 Yaroslavl
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin: Springer, 1957.
Klain, D.A.; Rota, G.-C. Introduktion til geometrisk sandsynlighed (neopr.) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1997. - ISBN 0-521-59362-X .
Chen, B. Et forenklet elementært bevis for Hadwigers volumensætning // Geom . Dedicata: journal. - 2004. - Bd. 105 . - S. 107-120 . - doi : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 .