Frobenius-Perron teorem
Frobenius-Perron- sætningen er en sætning om den største egenværdi af en reel kvadratisk matrix med positive komponenter. Denne sætning har adskillige anvendelser i sandsynlighedsteori (ergodicitet af Markov-kæder); i teorien om dynamiske systemer; i økonomi; i demografi; i sociale netværk; i søgemaskiner.
Bevist af Oscar Perron (1907) og uafhængigt af Georg Frobenius (1912). Ideen med at bruge dette teorem til at bestemme rækkefølgen af spillere i turneringer skyldes Edmund Landau .
Ordlyd
Lad være en kvadratisk matrix , med strengt positive reelle elementer, så er følgende udsagn sande:
![EN](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
- den største egenværdi i absolut værdi er reel og strengt taget positiv;
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
- denne egenværdi er en simpel rod af det karakteristiske polynomium ;
- den tilsvarende egenvektor har (mere præcist, kan vælges på en sådan måde at have) strengt positive koordinater, alle andre egenvektorer har ikke denne egenskab;
- egenværdi opfylder ulighederne
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
Se også
Litteratur
- Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
- Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456-477
- Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471-476
- Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514-518
- Gantmakher F. R. Theory of Matrics, - M .: Nauka 1966, 576s.