Frobenius-Perron teorem

Frobenius-Perron- sætningen er en sætning om den største egenværdi af en reel kvadratisk matrix med positive komponenter. Denne sætning har adskillige anvendelser i sandsynlighedsteori (ergodicitet af Markov-kæder); i teorien om dynamiske systemer; i økonomi; i demografi; i sociale netværk; i søgemaskiner.

Bevist af Oscar Perron (1907) og uafhængigt af Georg Frobenius (1912). Ideen med at bruge dette teorem til at bestemme rækkefølgen af spillere i turneringer skyldes Edmund Landau .

Ordlyd

Lad være en kvadratisk matrix , med strengt positive reelle elementer, så er følgende udsagn sande: $EN$

den største egenværdi i absolut værdi er reel og strengt taget positiv; $r$
denne egenværdi er en simpel rod af det karakteristiske polynomium ;
den tilsvarende egenvektor har (mere præcist, kan vælges på en sådan måde at have) strengt positive koordinater, alle andre egenvektorer har ikke denne egenskab; $r$
egenværdi opfylder ulighederne $r$

\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.

Se også

Perron-Frobenius operatør

Litteratur

Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456-477
Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471-476
Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514-518
Gantmakher F. R. Theory of Matrics, - M .: Nauka 1966, 576s.